Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5991
2018-01-06 
Карандаш длиной $L$ удерживается вертикально, касаясь нижней точкой гладкой поверхности, наклоненной под углом $\alpha$ к горизонту. Предоставленный самому себе, карандаш падает на поверхность за время $\tau$. Определить скорость ЦМ карандаша в момент соприкосновения с поверхностью.
Решение:
На карандаш действуют следующие силы: реакция опоры $\vec{N}$, сила тяжести $m \vec{g}$. Второй закон Ньютона (по теореме о движении ЦМ) имеет вид
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N}$. (*)
Рассмотрим движение ЦМ карандаша. Сила $m \vec{g}$ направлена вертикально вниз, но вектор $\vec{N}$ не лежит с $m \vec{g}$ на одной прямой, поэтому ЦМ будет совершать плоское движение, а не просто падать вниз. Этим задача усложняется, так как нельзя сразу записать закон сохранения энергии (не известна точка падения).
Для решения введем систему координат: ось x, параллельная наклонной плоскости, и ось у, перпендикулярная ей. Второй закон Ньютона в проекции на ось х (*) примет вид
$m \frac{dV_{c}}{dt} = mg \sin \alpha$.
Интегрируя и сокращая массу $m$, получаем $V_{x} = g \tau \sin \alpha$, где $\tau$ - время падения (которое, кстати, можно отыскать из начального условия положения карандаша, но весьма сложным образом).
Скорость $V_{x}$ обусловлена одной лишь силой $mg \sin \alpha$, поэтому для нахождения скорости $V_{y}$ рассмотрим систему координат $x^{ \prime}y$, в которой нет силы $mg \sin \alpha$. Здесь уже возможно использовать закон сохранения энергии, рассматривая падение карандаша на горизонтальную плоскость.
В этой системе отсчета ЦМ карандаша падает вертикально вниз. Тогда по теореме об изменении кинетической энергии
$(mg \cos \alpha ) \left ( \frac{L}{2} \cos \alpha \right ) = \frac{mV_{y}^{2}}{2} + \frac{I_{цм} \omega^{2}}{2}$,
где $I_{цм}$ - момент инерции тела относительно ЦМ (в данном случае $I_{цм} = \frac{mL^{2}}{12}; \omega = \frac{V_{y}}{L/2}$ - частота вращения тела вокруг ЦМ. Решая уравнение относительно $V_{y}$, получаем
$V_{y}^{2} = \left ( \frac{3}{4} gL \cos^{2} \alpha \right )$,
далее $V^{2} = V_{y}^{2} + V_{x}^{2}$.
Ответ: $V_{цм} = \sqrt{ \left ( \frac{3}{4} gL \cos^{2} \alpha \right ) + (g \tau \sin \alpha)^{2}}$.
Карандаш длиной $L$ удерживается вертикально, касаясь нижней точкой гладкой поверхности, наклоненной под углом $\alpha$ к горизонту. Предоставленный самому себе, карандаш падает на поверхность за время $\tau$. Определить скорость ЦМ карандаша в момент соприкосновения с поверхностью.
Решение:
На карандаш действуют следующие силы: реакция опоры $\vec{N}$, сила тяжести $m \vec{g}$. Второй закон Ньютона (по теореме о движении ЦМ) имеет вид
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N}$. (*)
Рассмотрим движение ЦМ карандаша. Сила $m \vec{g}$ направлена вертикально вниз, но вектор $\vec{N}$ не лежит с $m \vec{g}$ на одной прямой, поэтому ЦМ будет совершать плоское движение, а не просто падать вниз. Этим задача усложняется, так как нельзя сразу записать закон сохранения энергии (не известна точка падения).
Для решения введем систему координат: ось x, параллельная наклонной плоскости, и ось у, перпендикулярная ей. Второй закон Ньютона в проекции на ось х (*) примет вид
$m \frac{dV_{c}}{dt} = mg \sin \alpha$.
Интегрируя и сокращая массу $m$, получаем $V_{x} = g \tau \sin \alpha$, где $\tau$ - время падения (которое, кстати, можно отыскать из начального условия положения карандаша, но весьма сложным образом).
Скорость $V_{x}$ обусловлена одной лишь силой $mg \sin \alpha$, поэтому для нахождения скорости $V_{y}$ рассмотрим систему координат $x^{ \prime}y$, в которой нет силы $mg \sin \alpha$. Здесь уже возможно использовать закон сохранения энергии, рассматривая падение карандаша на горизонтальную плоскость.
В этой системе отсчета ЦМ карандаша падает вертикально вниз. Тогда по теореме об изменении кинетической энергии
$(mg \cos \alpha ) \left ( \frac{L}{2} \cos \alpha \right ) = \frac{mV_{y}^{2}}{2} + \frac{I_{цм} \omega^{2}}{2}$,
где $I_{цм}$ - момент инерции тела относительно ЦМ (в данном случае $I_{цм} = \frac{mL^{2}}{12}; \omega = \frac{V_{y}}{L/2}$ - частота вращения тела вокруг ЦМ. Решая уравнение относительно $V_{y}$, получаем
$V_{y}^{2} = \left ( \frac{3}{4} gL \cos^{2} \alpha \right )$,
далее $V^{2} = V_{y}^{2} + V_{x}^{2}$.
Ответ: $V_{цм} = \sqrt{ \left ( \frac{3}{4} gL \cos^{2} \alpha \right ) + (g \tau \sin \alpha)^{2}}$.
