Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5990
2018-01-06 
Цилиндрическое тело радиуса $R$ лежит на гладкой поверхности у гладкой стенки, касаясь ее. Центр тяжести тела смещен от оси на расстояние, равное $R/2$. В начальный момент времени тело лежит таким образом, что вектор от оси цилиндра к центру тяжести направлен вертикально вверх. На какой угол повернется тело, прежде чем оторвется от стенки?
Решение:
В начальный момент времени ЦМ находился в положении максимальной потенциальной энергии (положении неустойчивого равновесия) и тело покоилось, но при приложении малого импульса силы к ЦМ тело начнет вращаться по часовой стрелке, так как появляется момент $\vec{M}$ относительно оси цилиндра. Тело удобно рассмотреть в таком положении, так как здесь на него действуют реакции опоры и некое время ось цилиндра будет статична. Тело будет вращаться относительно своего центра, касаясь стенки.
Сформулируем закон сохранения энергии для тела, вращающегося относительно своего центра. В левой части уравнения будет выражена работа силы $\vec{Mg}$ , приложенная к ЦМ, а в правой - кинетическая энергия вращения тела:
$Mg \frac{R}{2} ( 1 - \cos \alpha) = \frac{I_{0} \omega^{2}}{2}$, (*)
где $I_{0} = aMR^{2}$ - момент инерции тела относительно оси цилиндра; $\alpha$ - угол поворота вектора в сторону от стенки; a зависит от распределения массы в цилиндре. Тогда
$Mg \frac{R}{2} (1 - \cos \alpha) = aMR^{2} \frac{ \omega^{2}}{2}$.
Отсюда выразим величину $\omega^{2} : \omega^{2} = \frac{g(1 - \cos \alpha)}{aR}$.
Продифференцировав уравнение (*) по времени и сократив на величину $\omega$, получим уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси:
$Mg \frac{R}{2} \sin \alpha = I_{0} \epsilon$,
где $\epsilon = \frac{g \sin \alpha}{2R}$ - угловое ускорение тела.
Определим тангенциальное и нормальное ускорения центра масс:
$a_{ \tau} = \epsilon \frac{R}{2} = \frac{ g \sin \alpha}{4a}$,
$a_{n} = \omega^{2} \frac{R}{2} = \frac{g(1 - \cos \alpha)}{2a}$,
$\vec{a}_{цм} = \vec{a}_{ \tau} + \vec{a}_{n}$.
Запишем второй закон Ньютона для ЦМ тела:
$\vec{Ma_{цм}} = \vec{Mg} + \vec{N}_{1} + \vec{N}_{2}$,
где $\vec{N}_{1}, \vec{N}_{2}$ - реакции опоры.
В проекции на ось х $Ma_{x} = N_{1}$, а в момент отрыва от стенки $N_{1} = 0$. Тогда ускорение ЦМ в проекции на горизонтальную ось равно нулю:
$a_{ \tau} \cos \alpha - a_{n} \sin \alpha = a_{x} = 0$.
Далее имеем
$\frac{g \sin \alpha}{4a} \cos \alpha - \frac{g(1 - \cos \alpha )}{2a} \sin \alpha = 0 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{2}{3}$.
Возможно также рассмотреть случай, когда тело начинает свое вращение против часовой стрелки. Тогда в процессе движения ЦМ повернется на $180^{ \circ}$ против часовой стрелки и окажется внизу, затем тело оторвется и поедет вправо.
Ответ: $\cos \alpha = \frac{2}{3}, \alpha = 48,2^{ \circ}$.
Цилиндрическое тело радиуса $R$ лежит на гладкой поверхности у гладкой стенки, касаясь ее. Центр тяжести тела смещен от оси на расстояние, равное $R/2$. В начальный момент времени тело лежит таким образом, что вектор от оси цилиндра к центру тяжести направлен вертикально вверх. На какой угол повернется тело, прежде чем оторвется от стенки?
Решение:
В начальный момент времени ЦМ находился в положении максимальной потенциальной энергии (положении неустойчивого равновесия) и тело покоилось, но при приложении малого импульса силы к ЦМ тело начнет вращаться по часовой стрелке, так как появляется момент $\vec{M}$ относительно оси цилиндра. Тело удобно рассмотреть в таком положении, так как здесь на него действуют реакции опоры и некое время ось цилиндра будет статична. Тело будет вращаться относительно своего центра, касаясь стенки.
Сформулируем закон сохранения энергии для тела, вращающегося относительно своего центра. В левой части уравнения будет выражена работа силы $\vec{Mg}$ , приложенная к ЦМ, а в правой - кинетическая энергия вращения тела:
$Mg \frac{R}{2} ( 1 - \cos \alpha) = \frac{I_{0} \omega^{2}}{2}$, (*)
где $I_{0} = aMR^{2}$ - момент инерции тела относительно оси цилиндра; $\alpha$ - угол поворота вектора в сторону от стенки; a зависит от распределения массы в цилиндре. Тогда
$Mg \frac{R}{2} (1 - \cos \alpha) = aMR^{2} \frac{ \omega^{2}}{2}$.
Отсюда выразим величину $\omega^{2} : \omega^{2} = \frac{g(1 - \cos \alpha)}{aR}$.
Продифференцировав уравнение (*) по времени и сократив на величину $\omega$, получим уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси:
$Mg \frac{R}{2} \sin \alpha = I_{0} \epsilon$,
где $\epsilon = \frac{g \sin \alpha}{2R}$ - угловое ускорение тела.
Определим тангенциальное и нормальное ускорения центра масс:
$a_{ \tau} = \epsilon \frac{R}{2} = \frac{ g \sin \alpha}{4a}$,
$a_{n} = \omega^{2} \frac{R}{2} = \frac{g(1 - \cos \alpha)}{2a}$,
$\vec{a}_{цм} = \vec{a}_{ \tau} + \vec{a}_{n}$.
Запишем второй закон Ньютона для ЦМ тела:
$\vec{Ma_{цм}} = \vec{Mg} + \vec{N}_{1} + \vec{N}_{2}$,
где $\vec{N}_{1}, \vec{N}_{2}$ - реакции опоры.
В проекции на ось х $Ma_{x} = N_{1}$, а в момент отрыва от стенки $N_{1} = 0$. Тогда ускорение ЦМ в проекции на горизонтальную ось равно нулю:
$a_{ \tau} \cos \alpha - a_{n} \sin \alpha = a_{x} = 0$.
Далее имеем
$\frac{g \sin \alpha}{4a} \cos \alpha - \frac{g(1 - \cos \alpha )}{2a} \sin \alpha = 0 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{2}{3}$.
Возможно также рассмотреть случай, когда тело начинает свое вращение против часовой стрелки. Тогда в процессе движения ЦМ повернется на $180^{ \circ}$ против часовой стрелки и окажется внизу, затем тело оторвется и поедет вправо.
Ответ: $\cos \alpha = \frac{2}{3}, \alpha = 48,2^{ \circ}$.
