Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5989
2018-01-06 
С какой частотой должна колебаться точка подвеса двойного математического маятника, чтобы его верхняя нить в процессе движения была все время вертикальна.
Решение:
Пусть точка подвеса движется по закону $X = A \sin \omega t$. По условию задачи система двух шаров совершает установившиеся колебания, где нить подвеса верхнего шара остается вертикальной. Нижний шар также будет колебаться с частотой $\omega$, иначе система через некоторое время выйдет из режима установившихся периодических колебаний. Итак, нижний шар колеблется по закону $S = B \sin \omega t$.
Колебания шаров происходят в противофазе. Сила натяжения нити $L$ всегда больше нуля, и лишь когда скорости шаров одновременно равны нулю, сила натяжения $\vec{T}$ равна нулю, поэтому нить $L$ можно заменить невесомым нерастяжимым стержнем, соединяющим центры шаров. Рассмотрим движения каждого из шаров.
Ускорения шаров в любой момент времени равны соответственно $\ddot{X} = - A \omega^{2} \sin \omega t$ и $\ddot{S} = - B \omega^{2} \omega t$.
В момент максимального отклонения от вертикали нижнего шара оба шара покоятся (кинетическая энергия двух шаров переходит в потенциальную энергию нижнего шара): $\dot{X} = \dot{S} = 0$, поэтому система шаров покоится. Это означает, что сумма сил, действующих на систему в этот момент времени, равна нулю.
В проекции на ось х $\Phi_{1} = \Phi_{2}$, где $\Phi_{1}, \Phi_{2}$ - силы инерции. Значит
$MA = mB$. (*)
По теореме о движении центра масс (ЦМ) в любой момент времени $\vec{(M + m) a_{цм}} = \vec{T}_{1} + \vec{mg} + \vec{Mg} + \vec{ \Phi}_{1} + \vec{ \Phi}_{2} + \vec{ma_{2y}}$, где $T_{1}$ - сила натяжения верхней нити.
В проекции на ось х $(M + m)a_{цмх} = \Phi_{1} - \Phi_{2}$, где $\Phi_{1} = M \ddot{X} = MA \omega^{2} \sin \omega t; \Phi_{2} = m \ddot{S} = m B \omega^{2} \sin \omega t$.
С учетом (*) получаем, что в любой момент времени $(M + m)a_{цмх} = 0$, т. е. $a_{цмх} = 0 \Rightarrow V_{цмх} = 0$.
По оси у ЦМ будет совершать колебания, причем $V_{цм} = 0$, когда стержень расположен вертикально. Запишем закон сохранения энергии:
$mgL ( 1 - \cos \phi ) = \frac{m( \omega l_{1})^{2}}{2} + \frac{M ( \omega l_{2})^{2}}{2}$,
где $\phi$ - угол отклонения от вертикали стержня; $l_{1}, l_{2}$ - расстояния от центра шара до ЦМ, $l_{1} = \frac{M}{M + m}L, l_{2} = \frac{m}{M+m}L; \omega$ - частота вращения в момент, когда стержень расположен вертикально.
Подставив эти выражения в закон сохранения энергии, получим
$mgL(1 - \cos \phi) = \frac{ \omega^{2}}{2} \frac{mM}{m + M} L^{2}$.
Продифферинцировав по времени, получим
$- \frac{g}{L} \sin \dot{ \phi} = \omega \dot{ \omega} \frac{M}{m + M}$,
$0 = \dot{ \omega} \frac{M}{m+M} + \frac{g}{L} \sin \phi$,
$\dot{ \omega} + \frac{g}{L} \sin \phi \frac{M+m}{M} = 0$.
Для момента вертикального положения стержня
$\ddot{S} + S \frac{g}{L} \frac{M+m}{M} = 0 \Rightarrow \omega^{2} = \frac{g}{L} \frac{M + m}{M}$.
Ответ: $\omega = \sqrt{ \frac{g}{L} \left ( \frac{m}{M} + 1 \right )}$.
С какой частотой должна колебаться точка подвеса двойного математического маятника, чтобы его верхняя нить в процессе движения была все время вертикальна.
Решение:
Пусть точка подвеса движется по закону $X = A \sin \omega t$. По условию задачи система двух шаров совершает установившиеся колебания, где нить подвеса верхнего шара остается вертикальной. Нижний шар также будет колебаться с частотой $\omega$, иначе система через некоторое время выйдет из режима установившихся периодических колебаний. Итак, нижний шар колеблется по закону $S = B \sin \omega t$.
Колебания шаров происходят в противофазе. Сила натяжения нити $L$ всегда больше нуля, и лишь когда скорости шаров одновременно равны нулю, сила натяжения $\vec{T}$ равна нулю, поэтому нить $L$ можно заменить невесомым нерастяжимым стержнем, соединяющим центры шаров. Рассмотрим движения каждого из шаров.
Ускорения шаров в любой момент времени равны соответственно $\ddot{X} = - A \omega^{2} \sin \omega t$ и $\ddot{S} = - B \omega^{2} \omega t$.
В момент максимального отклонения от вертикали нижнего шара оба шара покоятся (кинетическая энергия двух шаров переходит в потенциальную энергию нижнего шара): $\dot{X} = \dot{S} = 0$, поэтому система шаров покоится. Это означает, что сумма сил, действующих на систему в этот момент времени, равна нулю.
В проекции на ось х $\Phi_{1} = \Phi_{2}$, где $\Phi_{1}, \Phi_{2}$ - силы инерции. Значит
$MA = mB$. (*)
По теореме о движении центра масс (ЦМ) в любой момент времени $\vec{(M + m) a_{цм}} = \vec{T}_{1} + \vec{mg} + \vec{Mg} + \vec{ \Phi}_{1} + \vec{ \Phi}_{2} + \vec{ma_{2y}}$, где $T_{1}$ - сила натяжения верхней нити.
В проекции на ось х $(M + m)a_{цмх} = \Phi_{1} - \Phi_{2}$, где $\Phi_{1} = M \ddot{X} = MA \omega^{2} \sin \omega t; \Phi_{2} = m \ddot{S} = m B \omega^{2} \sin \omega t$.
С учетом (*) получаем, что в любой момент времени $(M + m)a_{цмх} = 0$, т. е. $a_{цмх} = 0 \Rightarrow V_{цмх} = 0$.
По оси у ЦМ будет совершать колебания, причем $V_{цм} = 0$, когда стержень расположен вертикально. Запишем закон сохранения энергии:
$mgL ( 1 - \cos \phi ) = \frac{m( \omega l_{1})^{2}}{2} + \frac{M ( \omega l_{2})^{2}}{2}$,
где $\phi$ - угол отклонения от вертикали стержня; $l_{1}, l_{2}$ - расстояния от центра шара до ЦМ, $l_{1} = \frac{M}{M + m}L, l_{2} = \frac{m}{M+m}L; \omega$ - частота вращения в момент, когда стержень расположен вертикально.
Подставив эти выражения в закон сохранения энергии, получим
$mgL(1 - \cos \phi) = \frac{ \omega^{2}}{2} \frac{mM}{m + M} L^{2}$.
Продифферинцировав по времени, получим
$- \frac{g}{L} \sin \dot{ \phi} = \omega \dot{ \omega} \frac{M}{m + M}$,
$0 = \dot{ \omega} \frac{M}{m+M} + \frac{g}{L} \sin \phi$,
$\dot{ \omega} + \frac{g}{L} \sin \phi \frac{M+m}{M} = 0$.
Для момента вертикального положения стержня
$\ddot{S} + S \frac{g}{L} \frac{M+m}{M} = 0 \Rightarrow \omega^{2} = \frac{g}{L} \frac{M + m}{M}$.
Ответ: $\omega = \sqrt{ \frac{g}{L} \left ( \frac{m}{M} + 1 \right )}$.
