Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5988
2018-01-06 
Космический корабль вращается по стационарной круговой орбите радиуса $2R$ вокруг малой планеты радиуса $R$. Каким образом должен действовать экипаж корабля, чтобы совершить мягкую посадку на поверхность планеты с минимальными затратами топлива, если ускорение свободного падения на поверхности планеты равно $G \ll g$? Какая для этого необходима характеристическая скорость?
Решение:
Для решения поставленной задачи должны выполняться два следующих условия:
- вектор тяги двигателя не должен длительное время быть направлен против вектора силы тяжести, или импульсы силы тяги двигателя должны быть максимально короткими (мгновенными);
- импульсов тяги двигателя должно быть как можно меньше, лучше один.
Однако одним импульсом решить задачу мягкой посадки невозможно, поэтому необходимы два импульса, причем они должны максимально отличаться друг от друга. Действительно, пусть космический аппарат преодолевает разность потенциальных энергий $U$ с нулевой начальной скоростью. Если сначала в свободном падении аппарат приобретет кинетическую энергию $U/2 = mV^{2}/2$ и остановится ($V = \sqrt{U/m}$), а затем повторит эту операцию, то характеристическая скорость $V_{x}$ будет равна $\sqrt{4U/m}$. Если $U = mV^{2}/2$, то $V_{x} = \sqrt{2U / m}$ .
Чтобы максимально приблизиться к поверхности планеты, необходимо перевести аппарат на эллиптическую траекторию, касательную к поверхности планеты.
Пусть ускорение свободного падения на поверхности планеты равно $G$. Тогда условие на стационарной орбите имеет вид $V_{0}^{2}/2R = G/4$, откуда $V_{0} = \sqrt{ GR/2}$.
Из закона сохранения момента импульса имеем
$MV_{1}2R = mVR$.
Из закона сохранения энергии следует
$-mV_{0}^{2} + \frac{mV_{1}^{2}}{2} = - 2mV_{0}^{2} + \frac{mV^{2}}{2}$,
$2V_{0}^{2} + V_{1}^{2} = V^{2} = 4 V_{1}^{2}$,
$V_{1}^{2} = \frac{2V_{0}^{2}}{3}$.
Откуда импульсы силы тяги составляют: для перехода на эллиптическую орбиту
$m \Delta V_{1} = mV_{0}(1 - \sqrt{2/3})$,
для непосредственно мягкой посадки
$m \Delta V_{2} = mV = 2mV_{1} = 2mV_{0} \sqrt{2/3}$.
Тогда общий импульс равен $\Delta V_{1} = mV_{0}(1 + \sqrt{2/3})$.
Для сравнения рассмотрим случай, когда первым импульсом корабль останавливается на орбите, падает вертикально, а затем тормозит перед самой поверхностью:
$mV = mV_{0} + m \sqrt{(2/m)(mV_{0}^{2})} = (1 + \sqrt{2}) mV_{0}$,
откуда $V_{x} = V_{0} (1 + \sqrt{2/3})$.
Космический корабль вращается по стационарной круговой орбите радиуса $2R$ вокруг малой планеты радиуса $R$. Каким образом должен действовать экипаж корабля, чтобы совершить мягкую посадку на поверхность планеты с минимальными затратами топлива, если ускорение свободного падения на поверхности планеты равно $G \ll g$? Какая для этого необходима характеристическая скорость?
Решение:
Для решения поставленной задачи должны выполняться два следующих условия:
- вектор тяги двигателя не должен длительное время быть направлен против вектора силы тяжести, или импульсы силы тяги двигателя должны быть максимально короткими (мгновенными);
- импульсов тяги двигателя должно быть как можно меньше, лучше один.
Однако одним импульсом решить задачу мягкой посадки невозможно, поэтому необходимы два импульса, причем они должны максимально отличаться друг от друга. Действительно, пусть космический аппарат преодолевает разность потенциальных энергий $U$ с нулевой начальной скоростью. Если сначала в свободном падении аппарат приобретет кинетическую энергию $U/2 = mV^{2}/2$ и остановится ($V = \sqrt{U/m}$), а затем повторит эту операцию, то характеристическая скорость $V_{x}$ будет равна $\sqrt{4U/m}$. Если $U = mV^{2}/2$, то $V_{x} = \sqrt{2U / m}$ .
Чтобы максимально приблизиться к поверхности планеты, необходимо перевести аппарат на эллиптическую траекторию, касательную к поверхности планеты.
Пусть ускорение свободного падения на поверхности планеты равно $G$. Тогда условие на стационарной орбите имеет вид $V_{0}^{2}/2R = G/4$, откуда $V_{0} = \sqrt{ GR/2}$.
Из закона сохранения момента импульса имеем
$MV_{1}2R = mVR$.
Из закона сохранения энергии следует
$-mV_{0}^{2} + \frac{mV_{1}^{2}}{2} = - 2mV_{0}^{2} + \frac{mV^{2}}{2}$,
$2V_{0}^{2} + V_{1}^{2} = V^{2} = 4 V_{1}^{2}$,
$V_{1}^{2} = \frac{2V_{0}^{2}}{3}$.
Откуда импульсы силы тяги составляют: для перехода на эллиптическую орбиту
$m \Delta V_{1} = mV_{0}(1 - \sqrt{2/3})$,
для непосредственно мягкой посадки
$m \Delta V_{2} = mV = 2mV_{1} = 2mV_{0} \sqrt{2/3}$.
Тогда общий импульс равен $\Delta V_{1} = mV_{0}(1 + \sqrt{2/3})$.
Для сравнения рассмотрим случай, когда первым импульсом корабль останавливается на орбите, падает вертикально, а затем тормозит перед самой поверхностью:
$mV = mV_{0} + m \sqrt{(2/m)(mV_{0}^{2})} = (1 + \sqrt{2}) mV_{0}$,
откуда $V_{x} = V_{0} (1 + \sqrt{2/3})$.
