Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5987
2018-01-06 
Космический зонд, движущийся вокруг Солнца по орбите Земли $R_{0}$, должен приблизиться к Солнцу на расстояние $(1/10)R_{0}$ для проведения астрономических измерений. Какую минимальную характеристическую скорость должен иметь зонд для данного маневра (характеристической называется максимальная скорость, которую способен достичь космический корабль при движении в свободном пространстве)? Скорость движения зонда по орбите Земли равна $V_{0}$.
Решение:
Возможны два основных варианта движения корабля:
- корабль быстро уменьшает скорость и по эллиптической орбите приближается к Солнцу на $(1/10)R_{0}$;
- корабль быстро увеличивает скорость, удалившись на расстояние много больше $R_{0}$, затем, уменьшив скорость, по эллиптической орбите приблизится к Солнцу на $(1/10) R_{0}$.
Пусть скорость стала равна $aV_{0}$, где $a$ - коэффициент, меньший (в первом варианте) или больший (во втором варианте) единицы. Условие стационарности орбиты имеет вид
$\frac{mV_{0}^{2}}{R_{0}} = \gamma \frac{mM}{R_{0}^{2}}, V_{0}^{2} = \gamma \frac{M}{R_{0}}$,
закон сохранения энергии - вид
$- \gamma \frac{mM}{R_{0}} + \frac{m(aV_{0})^{2}}{2} = - \gamma \frac{mM}{R} + \frac{mV^{2}}{2}$,
$- V_{0}^{2} + \frac{(aV_{0})^{2}}{2} = - \frac{V_{0}^{2}R_{0}}{R} + \frac{V^{2}}{2}$,
закон сохранения момента импульса - вид
$aV_{0}R_{0} = VR$.
Отсюда $ - V_{0}^{2} + (aV_{0})^{2}/2= - V_{0}^{2}R_{0}/R + (aV_{0}R_{0})^{2}/(2R^{2}), a^{2} = 2(1 - R_{0}/ R)/(1 - (R_{0}/R)^{2})$.
Тогда в первом случае $R = 0,1 R_{0}, a = 0,43$, характеристическая скорость составляет $0,57 V_{0}$.
Во втором случае $R = \infty, a = 1,41$, минимальная характеристическая скорость равна $0,41 V_{0}$.
Ответ: $V_{x} = 0,57 V_{0}$ или $V_{x} = 0,41 V_{0}$.
Космический зонд, движущийся вокруг Солнца по орбите Земли $R_{0}$, должен приблизиться к Солнцу на расстояние $(1/10)R_{0}$ для проведения астрономических измерений. Какую минимальную характеристическую скорость должен иметь зонд для данного маневра (характеристической называется максимальная скорость, которую способен достичь космический корабль при движении в свободном пространстве)? Скорость движения зонда по орбите Земли равна $V_{0}$.
Решение:
Возможны два основных варианта движения корабля:
- корабль быстро уменьшает скорость и по эллиптической орбите приближается к Солнцу на $(1/10)R_{0}$;
- корабль быстро увеличивает скорость, удалившись на расстояние много больше $R_{0}$, затем, уменьшив скорость, по эллиптической орбите приблизится к Солнцу на $(1/10) R_{0}$.
Пусть скорость стала равна $aV_{0}$, где $a$ - коэффициент, меньший (в первом варианте) или больший (во втором варианте) единицы. Условие стационарности орбиты имеет вид
$\frac{mV_{0}^{2}}{R_{0}} = \gamma \frac{mM}{R_{0}^{2}}, V_{0}^{2} = \gamma \frac{M}{R_{0}}$,
закон сохранения энергии - вид
$- \gamma \frac{mM}{R_{0}} + \frac{m(aV_{0})^{2}}{2} = - \gamma \frac{mM}{R} + \frac{mV^{2}}{2}$,
$- V_{0}^{2} + \frac{(aV_{0})^{2}}{2} = - \frac{V_{0}^{2}R_{0}}{R} + \frac{V^{2}}{2}$,
закон сохранения момента импульса - вид
$aV_{0}R_{0} = VR$.
Отсюда $ - V_{0}^{2} + (aV_{0})^{2}/2= - V_{0}^{2}R_{0}/R + (aV_{0}R_{0})^{2}/(2R^{2}), a^{2} = 2(1 - R_{0}/ R)/(1 - (R_{0}/R)^{2})$.
Тогда в первом случае $R = 0,1 R_{0}, a = 0,43$, характеристическая скорость составляет $0,57 V_{0}$.
Во втором случае $R = \infty, a = 1,41$, минимальная характеристическая скорость равна $0,41 V_{0}$.
Ответ: $V_{x} = 0,57 V_{0}$ или $V_{x} = 0,41 V_{0}$.
