Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5986
2018-01-06 
Космический корабль массой $m$ движется по стационарной круговой орбите радиуса $r_{0}$ вокруг Земли. В начальный момент времени включается двигатель, вектор тяги которого всегда направлен от центра Земли и величина которого равна $F$. Определить, при каком значении $r_{0}$ космический корабль покинет пределы поля тяготения Земли. Радиус Земли равен $R$.
Решение:
Скорость $V_{0}$ движения корабля по стационарной орбите радиуса $r_{0}$ находится из условия, что сила тяжести равна центростремительной силе:
$mg \frac{R^{2}}{r_{0}^{2}} = \frac{mV_{0}^{2}}{r_{0}}$.
Пусть космический корабль удалился от Земли под действием силы $F$ на максимальное расстояние $r$. При этом скорость имеет только тангенциальную составляющую $V$. Работа силы $F$ равна изменению механической энергии корабля:
$F (r - r_{0}) = \frac{mV^{2}}{2} - \frac{mgR^{2}}{r} - \frac{mV_{0}^{2}}{2} + \frac{mgR^{2}}{r_{0}}$.
Из закона сохранения момента импульса следует, что
$mVr = mV_{0}r_{0}$.
Откуда получим $F(r - r_{0}) = mV_{0}^{2} r_{0}^{2} / 2r^{2} - mgR /r + mgR^{2} / 2r_{0} = mgR^{2}r_{0} / 2r^{2} - mgR^{2} /r + mgR^{2} / 2r_{0} = mgR^{2} (r_{0} /2r^{2} - 1/r + 1/2r_{0}) = (mgR^{2} / 2r^{2}r_{0}) (r_{0}^{2} - 2 rr_{0} + r^{2})$.
Далее, $F = mgR^{2}(r - r_{0}) / 2r^{2}r_{0}$.
Экстремум этой функции найдем из условия $1/r^{2} - 2r_{0}/r^{3} = 0$, или $r =2r_{0}$.
Следовательно, выйдя за пределы критического радиуса $r = 2r_{0}$, космический корабль оторвется от Земли.
Подставив это значение в выражение для силы $F$, получим
$F = mgR^{2}/8r_{0}^{2}$.
Космический корабль массой $m$ движется по стационарной круговой орбите радиуса $r_{0}$ вокруг Земли. В начальный момент времени включается двигатель, вектор тяги которого всегда направлен от центра Земли и величина которого равна $F$. Определить, при каком значении $r_{0}$ космический корабль покинет пределы поля тяготения Земли. Радиус Земли равен $R$.
Решение:
Скорость $V_{0}$ движения корабля по стационарной орбите радиуса $r_{0}$ находится из условия, что сила тяжести равна центростремительной силе:
$mg \frac{R^{2}}{r_{0}^{2}} = \frac{mV_{0}^{2}}{r_{0}}$.
Пусть космический корабль удалился от Земли под действием силы $F$ на максимальное расстояние $r$. При этом скорость имеет только тангенциальную составляющую $V$. Работа силы $F$ равна изменению механической энергии корабля:
$F (r - r_{0}) = \frac{mV^{2}}{2} - \frac{mgR^{2}}{r} - \frac{mV_{0}^{2}}{2} + \frac{mgR^{2}}{r_{0}}$.
Из закона сохранения момента импульса следует, что
$mVr = mV_{0}r_{0}$.
Откуда получим $F(r - r_{0}) = mV_{0}^{2} r_{0}^{2} / 2r^{2} - mgR /r + mgR^{2} / 2r_{0} = mgR^{2}r_{0} / 2r^{2} - mgR^{2} /r + mgR^{2} / 2r_{0} = mgR^{2} (r_{0} /2r^{2} - 1/r + 1/2r_{0}) = (mgR^{2} / 2r^{2}r_{0}) (r_{0}^{2} - 2 rr_{0} + r^{2})$.
Далее, $F = mgR^{2}(r - r_{0}) / 2r^{2}r_{0}$.
Экстремум этой функции найдем из условия $1/r^{2} - 2r_{0}/r^{3} = 0$, или $r =2r_{0}$.
Следовательно, выйдя за пределы критического радиуса $r = 2r_{0}$, космический корабль оторвется от Земли.
Подставив это значение в выражение для силы $F$, получим
$F = mgR^{2}/8r_{0}^{2}$.
