ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-01-06   
По внутренней цилиндрической поверхности радиуса $R$ катится диск радиуса $\frac{2}{3} R$. Определить радиус кривизны траектории точки А.



Решение:


Будем считать, что диск катится так, что скорость его центра $O_{2}$ равна $V$, а угловое ускорение $\epsilon = 0$. Таким образом, точка $O_{2}$ движется вокруг точки $O_{1}$ по окружности радиуса $R - 2R/3$, откуда ускорение точки $O_{2}$ равно

V$a_{2} = \frac{V^{2}}{R - \frac{2}{3}R} = \frac{3V^{2}}{R}$

и направлено к точке $O_{1}$. Выразим ускорение точки A

$\vec{a}_{A} = \vec{a}_{2} + \vec{a}_{AO_{2}}^{n} + \vec{a}_{AO_{2}}^{ \tau}$

через величины $a_{2}$ и $\omega$ . Так как $\epsilon = 0$, имеем $a_{A} = \omega^{2} \frac{2}{3} R - a_{2} = \frac{3V^{2}}{2R} - \frac{3V^{2}}{R} = - \frac{3V^{2}}{2R}; a_{A} = - \frac{3V^{2}}{2R}$, а скорость точки A $V_{A} = 2V$. Так как $\vec{a}_{}2 \perp \vec{V}_{A}$, ускорение $a_{n} = \frac{3V^{2}}{2R}$. Согласно известной формуле,

$a_{n} = \frac{V^{2}}{ \rho}$,

где $\rho$ - радиус кривизны данной траектории.
Ответ. $\rho = \frac{V^{2}}{a_{n}} = \frac{4V^{2}}{ \frac{3V^{2}}{2R}} = \frac{8}{3} R$.