Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5978
2018-01-05 
Объективом зрительной трубы Кеплера служит линза с фокусным расстоянием $F_{1} = 500 мм$, имеющая диаметр $D = 75 мм$. Каково фокусное расстояние окуляра, если при наблюдении с помощью этой трубы Луна кажется в четыре раза менее яркой по сравнению с наблюдением невооруженным глазом? Диаметр зрачка принять равным 3 мм.
Решение:
Рассмотрим параллельный пучок лучей от некоторого малого элемента лунного диска, лежащего на оптической оси трубы. Диаметр $d$ пучка, выходящего из трубы, равен, очевидно, $(F_{2}/F_{1}) D$, где $F_{1}$ и $F_{2}$ — фокусное расстояние объектива и окуляра соответственно, а $D$ — диаметр объектива. Освещенность изображения на сетчатке глаза зависит от соотношения между диаметром пучка и диаметром зрачка $d_{зр}$.
Рассмотрим случай $d \leq d_{зр}$. В этом случае вся световая энергия, поступающая в объектив, доходит до сетчатки. Освещенность изображения пропорциональна энергии световых лучей, проникающих в зрачок (т. е. пропорциональна $D^{2}$), и обратно пропорциональна площади изображения на сетчатке (т. е. обратно пропорциональна квадрату увеличения трубы $(F_{1}/F_{2})^{2}$; см. задачу 5973). Таким образом, при $d \leq d_{зр}$ имеем
$E \sim D^{2} \left ( \frac{F_{2}}{F_{1}} \right )^{2}$.
В случае $d > d_{зр}$ в зрачок будет проникать только часть световой энергии, поступающей в объектив, так как лучи, идущие через периферические части объектива, в зрачок не попадут. Из рис. видно, что в этом случае диаметр $D^{ \prime}$ входного пучка лучей, проникающих в зрачок, равен $(F_{1}/F_{2}) d_{зр}$ и, следовательно,
$E^{ \prime} \sim (D^{ \prime})^{2} \left ( \frac{F_{2}}{F_{1}} \right )^{2} = \left ( \frac{F_{1}}{F_{2}} \right )^{2} d_{эр}^{2} \left ( \frac{F_{2}}{F_{1}} \right )^{2} = d_{зр}^{2}$ .
Освещенность $E_{0}$ изображения на сетчатке в случае невооруженного глаза пропорциональна, очевидно, $d_{зр}^{2}$. Таким образом, при выполнении условия $d \geq d_{зр}$ освещенность изображения на сетчатке глаза, вооруженного трубой, такая же, как н в случае невооруженного глаза. При $d < d_{зр}$ освещенность изображения на сетчатке глаза, вооруженного трубой, меньше $E_{0}$.
По условию задачи,
$\frac{E_{0}}{E} = \frac{d_{зр}^{2}}{D^{2} \left ( \frac{F_{2}}{F_{1}} \right )^{2}} = 4$, отсюда $F_{2} = \frac{d_{зр}F_{1}}{2D} = 10 мм$.
Объективом зрительной трубы Кеплера служит линза с фокусным расстоянием $F_{1} = 500 мм$, имеющая диаметр $D = 75 мм$. Каково фокусное расстояние окуляра, если при наблюдении с помощью этой трубы Луна кажется в четыре раза менее яркой по сравнению с наблюдением невооруженным глазом? Диаметр зрачка принять равным 3 мм.
Решение:
Рассмотрим параллельный пучок лучей от некоторого малого элемента лунного диска, лежащего на оптической оси трубы. Диаметр $d$ пучка, выходящего из трубы, равен, очевидно, $(F_{2}/F_{1}) D$, где $F_{1}$ и $F_{2}$ — фокусное расстояние объектива и окуляра соответственно, а $D$ — диаметр объектива. Освещенность изображения на сетчатке глаза зависит от соотношения между диаметром пучка и диаметром зрачка $d_{зр}$.
Рассмотрим случай $d \leq d_{зр}$. В этом случае вся световая энергия, поступающая в объектив, доходит до сетчатки. Освещенность изображения пропорциональна энергии световых лучей, проникающих в зрачок (т. е. пропорциональна $D^{2}$), и обратно пропорциональна площади изображения на сетчатке (т. е. обратно пропорциональна квадрату увеличения трубы $(F_{1}/F_{2})^{2}$; см. задачу 5973). Таким образом, при $d \leq d_{зр}$ имеем
$E \sim D^{2} \left ( \frac{F_{2}}{F_{1}} \right )^{2}$.
В случае $d > d_{зр}$ в зрачок будет проникать только часть световой энергии, поступающей в объектив, так как лучи, идущие через периферические части объектива, в зрачок не попадут. Из рис. видно, что в этом случае диаметр $D^{ \prime}$ входного пучка лучей, проникающих в зрачок, равен $(F_{1}/F_{2}) d_{зр}$ и, следовательно,
$E^{ \prime} \sim (D^{ \prime})^{2} \left ( \frac{F_{2}}{F_{1}} \right )^{2} = \left ( \frac{F_{1}}{F_{2}} \right )^{2} d_{эр}^{2} \left ( \frac{F_{2}}{F_{1}} \right )^{2} = d_{зр}^{2}$ .
Освещенность $E_{0}$ изображения на сетчатке в случае невооруженного глаза пропорциональна, очевидно, $d_{зр}^{2}$. Таким образом, при выполнении условия $d \geq d_{зр}$ освещенность изображения на сетчатке глаза, вооруженного трубой, такая же, как н в случае невооруженного глаза. При $d < d_{зр}$ освещенность изображения на сетчатке глаза, вооруженного трубой, меньше $E_{0}$.
По условию задачи,
$\frac{E_{0}}{E} = \frac{d_{зр}^{2}}{D^{2} \left ( \frac{F_{2}}{F_{1}} \right )^{2}} = 4$, отсюда $F_{2} = \frac{d_{зр}F_{1}}{2D} = 10 мм$.
