Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5961
2018-01-05 
Небольшой черный шарик, поглощающий все световые лучи, при освещении Солнцем нагревается до температуры $t_{1}$. До какой температуры $t_{2}$ нагреется шарик, если сфокусировать на нем изображение Солнца с помощью линзы с фокусным расстоянием $F$ и диаметром $D$? Считать, что энергия, теряемая шариком в единицу времени за счет теплообмена, пропорциональна площади его поверхности и разности температур шарика и окружающего воздуха. Температуру воздуха принять равной $t_{0}$. Рассмотреть случай, когда диаметр шарика меньше диаметра изображения Солнца. Угловой диаметр Солнца равен $\alpha$.
Решение:
При установившейся температуре шарика энергия, получаемая в единицу времени за счет поглощения световых лучей, равна энергии, рассеиваемой за то же время вследствие теплообмена с окружающим воздухом. Когда шарик освещается прямыми солнечными лучами, уравнение теплового баланса запишется в виде
$\Phi_{1} = k 4 \pi r^{2} (t_{1} - t_{0})$;
здесь $\Phi_{1}$ — световой поток, падающий на поверхность шарика, $t_{1}$ — температура шарика, $t_{0}$ — температура окружающей среды, $k$ — коэффициент пропорциональности, $r$ — радиус шарика. Если на шарик спроектировано изображение Солнца, имеем
$\Phi_{2} = k 4 \pi r^{2} (t_{2} - t_{0})$.
Обозначим световой поток, падающий на линзу, через $\Phi_{3}$. Очевидно, что
$\frac{ \Phi_{1}}{ \Phi_{3}} = \frac{S_{1}}{S_{3}}$,
где $S_{1}$ — площадь поперечного сечения шарика и $S_{3}$ — площадь линзы. С другой стороны,
$\frac{ \Phi_{3}}{ \Phi_{2}} = \frac{S_{2}}{S_{1}}$,
где $S_{2}$ — площадь изображения Солнца
$S_{2} = \frac{ \pi \alpha^{2} F^{2}}{4}$
(см. задачу 5960). Таким образом,
$\frac{ \Phi_{1}}{ \Phi_{2}} = \frac{S_{2}}{S_{3}} = \frac{ \alpha^{2}F^{2}}{D^{2}}$.
Следовательно,
$\frac{t_{2} - t_{0}}{t_{1} - t_{0}} = \frac{D^{2}}{ \alpha^{2}F^{2}}$,
откуда
$t_{2} = t_{0} + \frac{D^{2}}{ \alpha^{2} F^{2}} (t_{1} - t_{0})$.
Небольшой черный шарик, поглощающий все световые лучи, при освещении Солнцем нагревается до температуры $t_{1}$. До какой температуры $t_{2}$ нагреется шарик, если сфокусировать на нем изображение Солнца с помощью линзы с фокусным расстоянием $F$ и диаметром $D$? Считать, что энергия, теряемая шариком в единицу времени за счет теплообмена, пропорциональна площади его поверхности и разности температур шарика и окружающего воздуха. Температуру воздуха принять равной $t_{0}$. Рассмотреть случай, когда диаметр шарика меньше диаметра изображения Солнца. Угловой диаметр Солнца равен $\alpha$.
Решение:
При установившейся температуре шарика энергия, получаемая в единицу времени за счет поглощения световых лучей, равна энергии, рассеиваемой за то же время вследствие теплообмена с окружающим воздухом. Когда шарик освещается прямыми солнечными лучами, уравнение теплового баланса запишется в виде
$\Phi_{1} = k 4 \pi r^{2} (t_{1} - t_{0})$;
здесь $\Phi_{1}$ — световой поток, падающий на поверхность шарика, $t_{1}$ — температура шарика, $t_{0}$ — температура окружающей среды, $k$ — коэффициент пропорциональности, $r$ — радиус шарика. Если на шарик спроектировано изображение Солнца, имеем
$\Phi_{2} = k 4 \pi r^{2} (t_{2} - t_{0})$.
Обозначим световой поток, падающий на линзу, через $\Phi_{3}$. Очевидно, что
$\frac{ \Phi_{1}}{ \Phi_{3}} = \frac{S_{1}}{S_{3}}$,
где $S_{1}$ — площадь поперечного сечения шарика и $S_{3}$ — площадь линзы. С другой стороны,
$\frac{ \Phi_{3}}{ \Phi_{2}} = \frac{S_{2}}{S_{1}}$,
где $S_{2}$ — площадь изображения Солнца
$S_{2} = \frac{ \pi \alpha^{2} F^{2}}{4}$
(см. задачу 5960). Таким образом,
$\frac{ \Phi_{1}}{ \Phi_{2}} = \frac{S_{2}}{S_{3}} = \frac{ \alpha^{2}F^{2}}{D^{2}}$.
Следовательно,
$\frac{t_{2} - t_{0}}{t_{1} - t_{0}} = \frac{D^{2}}{ \alpha^{2}F^{2}}$,
откуда
$t_{2} = t_{0} + \frac{D^{2}}{ \alpha^{2} F^{2}} (t_{1} - t_{0})$.
