Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5959
2018-01-05 
На оси выпуклого сферического зеркала радиуса $R$ находится точечный источник света. Расстояние между зеркалом и источником равно $R/2$. Определить освещенность $E$ площадки, находящейся на расстоянии $R$ от зеркала, если освещенность площадки на расстоянии $2R$ равна $E_{0}$. Зеркало считать идеально отражающим.
Решение:
Определим по формуле зеркала положение изображения $S_{1}$:
$b = \frac{aF}{a - F} = \frac{ \frac{R}{2} \left ( - \frac{R}{2} \right )}{ \frac{R}{2} - \left ( - \frac{R}{2} \right )} = - \frac{R}{4}$
(обозначения см. на рис. ). Освещенность $E$ площадки, находящейся на расстоянии $R$ от зеркала, найдется по следующей формуле:
$E = \frac{I}{(R - a)^{2}} + \frac{I_{1}}{(R + |b|)^{2}} = \frac{4I}{R^{2}} + \frac{16I_{1}}{25R^{2}}$;
здесь $I$ и $I_{1}$ — силы света источника S и изображения $S_{1}$ соответственно. Освещенность $E_{0}$ площадки, находящейся на расстоянии $2R$ от зеркала, запишется в виде
$E_{0} = \frac{I}{(2R - a)^{2}} + \frac{I_{1}}{(2R + |b|)^{2}} = \frac{4I}{9R^{2}} + \frac{16I_{1}}{81R^{2}}$.
Найдем теперь связь между $I$ и $I_{1}$. Заметим, что поток световой энергии от источника S в некотором телесном угле $\Omega$ после отражения от зеркала распространяется в телесном угле $\Omega_{1}$ (см. рис.). При идеальном отражении имеем
$I \Omega = I_{1} \Omega_{1}$.
С другой стороны, при достаточно малых $\Omega$ и $\Omega_{1}$ можно записать
$\Omega a^{2} = \Omega_{1}b^{2}$
и, следовательно,
$I_{1} = \frac{b^{2}}{a^{2}} I = \frac{ \left ( \frac{R}{4} \right )^{2}}{ \left ( \frac{R}{2} \right )^{2}} I = \frac{1}{4} I$.
Выражения для $E$ и $E_{0}$ теперь можно записать в виде
$E = \frac{4I}{R^{2}} \left ( 1 + \frac{1}{25} \right ) = \frac{4I}{R^{2}} \frac{26}{25}, E_{0} = \frac{4I}{R^{2}} \left ( \frac{1}{9} + \frac{1}{81} \right ) = \frac{4I}{R^{2}} \frac{10}{81}$.
Отсюда следует
$E = \frac{41}{20} E_{1} \approx 600 лк$
На оси выпуклого сферического зеркала радиуса $R$ находится точечный источник света. Расстояние между зеркалом и источником равно $R/2$. Определить освещенность $E$ площадки, находящейся на расстоянии $R$ от зеркала, если освещенность площадки на расстоянии $2R$ равна $E_{0}$. Зеркало считать идеально отражающим.
Решение:
Определим по формуле зеркала положение изображения $S_{1}$:
$b = \frac{aF}{a - F} = \frac{ \frac{R}{2} \left ( - \frac{R}{2} \right )}{ \frac{R}{2} - \left ( - \frac{R}{2} \right )} = - \frac{R}{4}$
(обозначения см. на рис. ). Освещенность $E$ площадки, находящейся на расстоянии $R$ от зеркала, найдется по следующей формуле:
$E = \frac{I}{(R - a)^{2}} + \frac{I_{1}}{(R + |b|)^{2}} = \frac{4I}{R^{2}} + \frac{16I_{1}}{25R^{2}}$;
здесь $I$ и $I_{1}$ — силы света источника S и изображения $S_{1}$ соответственно. Освещенность $E_{0}$ площадки, находящейся на расстоянии $2R$ от зеркала, запишется в виде
$E_{0} = \frac{I}{(2R - a)^{2}} + \frac{I_{1}}{(2R + |b|)^{2}} = \frac{4I}{9R^{2}} + \frac{16I_{1}}{81R^{2}}$.
Найдем теперь связь между $I$ и $I_{1}$. Заметим, что поток световой энергии от источника S в некотором телесном угле $\Omega$ после отражения от зеркала распространяется в телесном угле $\Omega_{1}$ (см. рис.). При идеальном отражении имеем
$I \Omega = I_{1} \Omega_{1}$.
С другой стороны, при достаточно малых $\Omega$ и $\Omega_{1}$ можно записать
$\Omega a^{2} = \Omega_{1}b^{2}$
и, следовательно,
$I_{1} = \frac{b^{2}}{a^{2}} I = \frac{ \left ( \frac{R}{4} \right )^{2}}{ \left ( \frac{R}{2} \right )^{2}} I = \frac{1}{4} I$.
Выражения для $E$ и $E_{0}$ теперь можно записать в виде
$E = \frac{4I}{R^{2}} \left ( 1 + \frac{1}{25} \right ) = \frac{4I}{R^{2}} \frac{26}{25}, E_{0} = \frac{4I}{R^{2}} \left ( \frac{1}{9} + \frac{1}{81} \right ) = \frac{4I}{R^{2}} \frac{10}{81}$.
Отсюда следует
$E = \frac{41}{20} E_{1} \approx 600 лк$
