ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-01-05   
В воде на глубине $H$ расположен точечный источник света силой $I$, а на одной с ним вертикали на высоте $H$ над поверхностью воды находится круглый экран с радиусом $a$, значительно меньшим $H$. Найти полный световой поток, попадающий на экран, принимая во внимание, что энергетический коэффициент отражения для лучей, нормально падающих на границу раздела, равен $R$. Показатель преломления воды равен $n$.
Указание. Воспользоваться тем, что при малых углах $\sin \alpha \approx tg \alpha$.


Решение:



Решим сначала задачу, пренебрегая отражением лучей от поверхности воды. Из рис. ясно, что на площадку падает световой поток

$\Phi = I \Omega$, (1)

где $\Omega$ — телесный угол, образованный лучами, попадающими на края площадки после преломления на границе вода - воздух. Заметим, далее, что

$\Omega = \frac{ \pi b^{2}}{H^{2}}$. (2)

Из подобия треугольников $A_{1}BC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ имеем

$\frac{b}{a} = \frac{h}{H+ h}$, (3)

где $h = A_{1}B_{1}$, С другой стороны, из треугольников $AB_{1}C_{1}$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ находим

$h tg r = H tg i$, (4)

но

$\frac{tg i}{tg r} \approx \frac{ \sin i}{ \sin r} = \frac{1}{n}$, (5)

откуда

$h = \frac{H}{n}$. (5)

Теперь легко найти величину $b$:

$b = \frac{h}{H + h} a = \frac{a}{n+1}$. (7)

Объединив выражения (1), (2) н (7), получаем окончательно

$\Phi = I \frac{ \pi a^{2}}{H^{2}(n + 1)^{2}}$.

Учтем теперь отражение от поверхности воды. На основании закона сохранения энергии имеем

$D=1 - R$,

где $D$ — доля световой энергии, проходящая через границы раздела, таким образом,

$\Phi_{0} = D \Phi = (1-R) I \frac{ \pi a^{2}}{H^{2}(n + 1)^{2}}$.