Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5933
2018-01-05 
С помощью линзы с фокусным расстоянием $F$ на экране получают уменьшенное и увеличенное изображения предмета, находящегося на расстоянии $L$ от экрана. Найти отношение размеров изображений в обоих случаях.
Решение:
Для первого положения линзы имеем (см. рис.)
$y_{1} = \frac{b_{1}}{a_{1}}x$,
для второго положения:
$y_{2} = \frac{b_{2}}{a_{2}} x$;
здесь $y_{1}$ и $y_{2}$ —размеры изображений, $x$ — размер предмета. Найдем теперь расстояния $a_{1}$ и $b_{1}, a_{2}$ и $b_{2}$. Из формулы линзы имеем
$\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{b_{1}} = \frac{1}{F}, \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{b_{2}} = \frac{1}{F}$.
Следовательно,
$a_{1}b_{1} = F ( a_{1} + b_{1}) = FL = a_{2}b_{2}$.
Кроме того,
$a_{1} + b_{1} = a_{1} + b_{2} = L$.
Из этих соотношений следует, что все величины $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}$ удовлетворяют квадратному уравнению
$z^{2} - zL + LF = 0$
(где $z = a_{1},b_{1}, a_{2}$ или $b_{2}$).
Решая это уравнением принимая во внимание, что $a_{1} > a_{2}, b_{1} < b_{2}$ (см. рис.), получим
$a_{1} = b_{1} = \frac{L}{2} + \sqrt{ \frac{L^{2}}{4} - LF}, b_{1} = a_{2} = \frac{L}{2} - \sqrt{ \frac{L^{2}}{4} - LF}$.
Заметим, что действительные решения квадратного уравнения существуют только при $L \geq 4F$. Физически это означает, что прн $L < 4F$ нельзя получить ни одного действительного изображения. Отношение размеров изображений $y_{2}/y_{1}$ в обоих случаях есть
$\frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{a_{1}b_{1}}{b_{1}a_{2}}= \frac{a_{1}^{2}}{b_{1}^{2}} = \left [ \frac{ \frac{L}{2} + \sqrt{ \frac{L^{2}}{4} - LF} }{ \frac{L}{2} - \sqrt{ \frac{L^{2}}{4} - LF}} \right ]^{2} = \frac{(L + \sqrt{L^{2} - 4LF})^{4}}{16L^{2}F^{2}}$.
С помощью линзы с фокусным расстоянием $F$ на экране получают уменьшенное и увеличенное изображения предмета, находящегося на расстоянии $L$ от экрана. Найти отношение размеров изображений в обоих случаях.
Решение:
Для первого положения линзы имеем (см. рис.)
$y_{1} = \frac{b_{1}}{a_{1}}x$,
для второго положения:
$y_{2} = \frac{b_{2}}{a_{2}} x$;
здесь $y_{1}$ и $y_{2}$ —размеры изображений, $x$ — размер предмета. Найдем теперь расстояния $a_{1}$ и $b_{1}, a_{2}$ и $b_{2}$. Из формулы линзы имеем
$\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{b_{1}} = \frac{1}{F}, \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{b_{2}} = \frac{1}{F}$.
Следовательно,
$a_{1}b_{1} = F ( a_{1} + b_{1}) = FL = a_{2}b_{2}$.
Кроме того,
$a_{1} + b_{1} = a_{1} + b_{2} = L$.
Из этих соотношений следует, что все величины $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}$ удовлетворяют квадратному уравнению
$z^{2} - zL + LF = 0$
(где $z = a_{1},b_{1}, a_{2}$ или $b_{2}$).
Решая это уравнением принимая во внимание, что $a_{1} > a_{2}, b_{1} < b_{2}$ (см. рис.), получим
$a_{1} = b_{1} = \frac{L}{2} + \sqrt{ \frac{L^{2}}{4} - LF}, b_{1} = a_{2} = \frac{L}{2} - \sqrt{ \frac{L^{2}}{4} - LF}$.
Заметим, что действительные решения квадратного уравнения существуют только при $L \geq 4F$. Физически это означает, что прн $L < 4F$ нельзя получить ни одного действительного изображения. Отношение размеров изображений $y_{2}/y_{1}$ в обоих случаях есть
$\frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{a_{1}b_{1}}{b_{1}a_{2}}= \frac{a_{1}^{2}}{b_{1}^{2}} = \left [ \frac{ \frac{L}{2} + \sqrt{ \frac{L^{2}}{4} - LF} }{ \frac{L}{2} - \sqrt{ \frac{L^{2}}{4} - LF}} \right ]^{2} = \frac{(L + \sqrt{L^{2} - 4LF})^{4}}{16L^{2}F^{2}}$.
