Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5931
2018-01-05 
Для измерения показателя преломления в стеклянной призмы с углом $\alpha = 30^{ \circ}$ была использована схема, показанная на рис. Призма помещалась перед положительной линзой Л так, что грань АВ была перпендикулярна к оптической оси линзы. В фокальной плоскости линзы помещался экран, на котором при освещении грани АС рассеянным светом можно было наблюдать две области: освещенную и неосвещенную. Отрезок, соединяющий границу между областями (точку D) с центром линзы, оказался расположенным под углом $30^{ \circ}$ к оптической оси линзы. Определить показатель преломления $n$ призмы.
Решение:
Рассмотрим преломление света в некоторой точке положенной на грани АС (рис.). Эта грань по условию освещается лучами всевозможных направлений (рассеянный свет). Так как стеклянная призма представляет собой оптически более плотную среду по сравнению с воздухом, угол преломления не может быть больше некоторого предельного угла $r_{0}$, определяемого соотношением
$\sin r_{0} = \frac{1}{n}$.
Крайние лучи светового конуса, исходящего из точки а, будут падать на грань АВ под углами $r_{0}^{ \prime} = r_{0} - \alpha$ и $r_{0}^{ \prime} = r_{0} + \alpha$ в точках b и е соответственно. Заметим, что $r_{0}^{ \prime} < r_{0}$, а $r_{0}^{ \prime \prime} > r_{0}$; это означает, что луч ab не испытает полного отражения на границе стекло — воздух, в то время как луч не полностью отразится. Угол преломления $i_{0}$ луча, выходящего из призмы в точке b, найдется из соотношения
$\frac{ \sin r_{0}^{ \prime}}{ \sin i_{0}} = \frac{1}{n}$,
или
$\frac{ \sin (r_{0} - \alpha)}{ \sin i_{0}} = - \frac{ \sin \alpha \cos r_{0} - \cos \alpha \sin r_{0}}{ \sin i_{0}} = - \frac{ \sin \alpha \sqrt{1 - \frac{1}{n^{2}}} - \cos \alpha \frac{1}{n}}{ \sin i_{0}} = \frac{1}{n}$.
Отсюда получим
$n = \sqrt{ \left ( \frac{ \sin i_{0}}{ \sin \alpha} - ctg \alpha \right )^{2} + 1 }$
Все лучи, выходящие из призмы под углом $i_{0}$, соберутся в некоторой точке фокальной плоскости линзы (точка D на рис.), направление на которую из центра линзы составляет угол $i_{0}$ с оптической осью. Выше точки D свет попасть не может (неосвещенная область), так как лучи, выходящие из призмы, не могут быть отклонены вверх от оптической оси на угол, больший чем $i_{0}$. Ниже точки D располагается освещенная область; угол отклонения лучей от оптической оси вниз может быть любым в интервале от 0 до $90^{ \circ}$ (например, в точке d на рнс. выходящий из призмы луч отклонен на $90^{ \circ}$ вниз от оптической оси). В нашем случае $\alpha = 30^{ \circ}, i_{0} = 30^{ \circ}$ и, следовательно,
$n = \sqrt{(1 - \sqrt{3})^{2} + 1} = \sqrt{5 - 2 \sqrt{3}} \approx 1,24$.
Для измерения показателя преломления в стеклянной призмы с углом $\alpha = 30^{ \circ}$ была использована схема, показанная на рис. Призма помещалась перед положительной линзой Л так, что грань АВ была перпендикулярна к оптической оси линзы. В фокальной плоскости линзы помещался экран, на котором при освещении грани АС рассеянным светом можно было наблюдать две области: освещенную и неосвещенную. Отрезок, соединяющий границу между областями (точку D) с центром линзы, оказался расположенным под углом $30^{ \circ}$ к оптической оси линзы. Определить показатель преломления $n$ призмы.
Решение:
Рассмотрим преломление света в некоторой точке положенной на грани АС (рис.). Эта грань по условию освещается лучами всевозможных направлений (рассеянный свет). Так как стеклянная призма представляет собой оптически более плотную среду по сравнению с воздухом, угол преломления не может быть больше некоторого предельного угла $r_{0}$, определяемого соотношением
$\sin r_{0} = \frac{1}{n}$.
Крайние лучи светового конуса, исходящего из точки а, будут падать на грань АВ под углами $r_{0}^{ \prime} = r_{0} - \alpha$ и $r_{0}^{ \prime} = r_{0} + \alpha$ в точках b и е соответственно. Заметим, что $r_{0}^{ \prime} < r_{0}$, а $r_{0}^{ \prime \prime} > r_{0}$; это означает, что луч ab не испытает полного отражения на границе стекло — воздух, в то время как луч не полностью отразится. Угол преломления $i_{0}$ луча, выходящего из призмы в точке b, найдется из соотношения
$\frac{ \sin r_{0}^{ \prime}}{ \sin i_{0}} = \frac{1}{n}$,
или
$\frac{ \sin (r_{0} - \alpha)}{ \sin i_{0}} = - \frac{ \sin \alpha \cos r_{0} - \cos \alpha \sin r_{0}}{ \sin i_{0}} = - \frac{ \sin \alpha \sqrt{1 - \frac{1}{n^{2}}} - \cos \alpha \frac{1}{n}}{ \sin i_{0}} = \frac{1}{n}$.
Отсюда получим
$n = \sqrt{ \left ( \frac{ \sin i_{0}}{ \sin \alpha} - ctg \alpha \right )^{2} + 1 }$
Все лучи, выходящие из призмы под углом $i_{0}$, соберутся в некоторой точке фокальной плоскости линзы (точка D на рис.), направление на которую из центра линзы составляет угол $i_{0}$ с оптической осью. Выше точки D свет попасть не может (неосвещенная область), так как лучи, выходящие из призмы, не могут быть отклонены вверх от оптической оси на угол, больший чем $i_{0}$. Ниже точки D располагается освещенная область; угол отклонения лучей от оптической оси вниз может быть любым в интервале от 0 до $90^{ \circ}$ (например, в точке d на рнс. выходящий из призмы луч отклонен на $90^{ \circ}$ вниз от оптической оси). В нашем случае $\alpha = 30^{ \circ}, i_{0} = 30^{ \circ}$ и, следовательно,
$n = \sqrt{(1 - \sqrt{3})^{2} + 1} = \sqrt{5 - 2 \sqrt{3}} \approx 1,24$.
