Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 593
2014-06-01 
На горизонтальной поверхности расположены два цилиндра. Ось одного из них горизонтальна, а другого вертикальна, и в нижней части цилиндры соединены трубкой небольшого сечения. «Горизонтальный» цилиндр радиуса $r$ с одной стороны открыт, и в него вставлен поршень (рис.). «Вертикальный» цилиндр открыт с верхней стороны. В цилиндры налита вода, причем в «горизонтальном» цилиндре она заполняет все отделяемое поршнем пространство, а в «вертикальном» стоит на некотором уровне.
Определите уровень $h$ воды в вертикальном цилиндре, при котором поршень находится в равновесии. Трением пренебречь.
Решение:
Давление у дна «вертикального» цилиндра равно $p=p_{0}+ \rho_{в}gh$, где $p_{0}$ - атмосферное давление, $\rho_{в}$ - плотность воды, $g$ - ускорение свободного паления. По закону Паскаля то же давление действует на нижний край поршня, находящегося в «горизонтальном» цилиндре. Вообще давление воды на часть поршня, отстоящую от нижнего края на расстояние $x$ но вертикали, равно $p - \rho gx$ (рис.).
Рассмотрим части поршня, представляющие собой узкие (шириной $\Delta x$) горизонтальные полоски, отстоящие на равные расстояния $a$ от его центров. Сила давления воды на верхнюю полоску равна
$[p- \rho_{в}g (r+a)] \Delta S$,
а сила давления на нижнюю
$[p- \rho_{в}g (r-a)] \Delta S$,
где $\Delta S$ - площадь полоски. Сумма этих сил пропорциональна площади полоски, причем коэффициент пропорциональности, равный $2(p - \rho gr)$, не зависит от $a$. Отсюда следует, что полная сила давления волы на поршень равна
$(p - \rho_{в} gr) \pi r^{2} = [p_{0} + \rho_{в} g (h-r)] \pi r^{2}$.
Чтобы поршень находился в равновесии, необходимо равенство этой силы силе атмосферного давления, действующей на поршень слева и равной $p_{0} \pi r^{2}$. Отсюда
$h=r$,
т. е. поршень находится в равновесии, если уровень воды в вертикальном цилиндре равен радиусу горизонтального. Из рассмотрения видно, что равновесие устойчивое.
На горизонтальной поверхности расположены два цилиндра. Ось одного из них горизонтальна, а другого вертикальна, и в нижней части цилиндры соединены трубкой небольшого сечения. «Горизонтальный» цилиндр радиуса $r$ с одной стороны открыт, и в него вставлен поршень (рис.). «Вертикальный» цилиндр открыт с верхней стороны. В цилиндры налита вода, причем в «горизонтальном» цилиндре она заполняет все отделяемое поршнем пространство, а в «вертикальном» стоит на некотором уровне.
Определите уровень $h$ воды в вертикальном цилиндре, при котором поршень находится в равновесии. Трением пренебречь.
Решение:
Давление у дна «вертикального» цилиндра равно $p=p_{0}+ \rho_{в}gh$, где $p_{0}$ - атмосферное давление, $\rho_{в}$ - плотность воды, $g$ - ускорение свободного паления. По закону Паскаля то же давление действует на нижний край поршня, находящегося в «горизонтальном» цилиндре. Вообще давление воды на часть поршня, отстоящую от нижнего края на расстояние $x$ но вертикали, равно $p - \rho gx$ (рис.).
Рассмотрим части поршня, представляющие собой узкие (шириной $\Delta x$) горизонтальные полоски, отстоящие на равные расстояния $a$ от его центров. Сила давления воды на верхнюю полоску равна
$[p- \rho_{в}g (r+a)] \Delta S$,
а сила давления на нижнюю
$[p- \rho_{в}g (r-a)] \Delta S$,
где $\Delta S$ - площадь полоски. Сумма этих сил пропорциональна площади полоски, причем коэффициент пропорциональности, равный $2(p - \rho gr)$, не зависит от $a$. Отсюда следует, что полная сила давления волы на поршень равна
$(p - \rho_{в} gr) \pi r^{2} = [p_{0} + \rho_{в} g (h-r)] \pi r^{2}$.
Чтобы поршень находился в равновесии, необходимо равенство этой силы силе атмосферного давления, действующей на поршень слева и равной $p_{0} \pi r^{2}$. Отсюда
$h=r$,
т. е. поршень находится в равновесии, если уровень воды в вертикальном цилиндре равен радиусу горизонтального. Из рассмотрения видно, что равновесие устойчивое.
