Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5918
2018-01-05 
Два одинаковых плоских конденсатора с площадью пластин $S$ соединены параллельно, заряжены до разности потенциалов $V_{0}$ от батареи и затем отключены от нее. Пластины одного из конденсаторов начинают сближать так, что расстояние между ними изменяется во времени по закону
$d = d_{0} \frac{t_{0} - t}{t_{0} + t}$,
где $d_{0}$ — первоначальное расстояние между пластинами, $t$ — время, $t_{0}$ — некоторая постоянная величина. Определить ток $I$ в проводах, соединяющих конденсаторы.
Решение:
Пусть $C_{0}$ и $C$ — емкости конденсаторов в некоторый момент времени, $q_{0}$ — полный заряд на конденсаторах. Поскольку полный заряд не меняется со временем, а потенциалы на конденсаторах одинаковы, можно записать
$\frac{q_{0} - q}{C_{0}} = \frac{q}{C}$ или $(q_{0} - q)d_{0} = qd$; (1)
здесь $q$ н $d$ — заряд н расстояние между пластинами переменного конденсатора в некоторый момент времени $t$. Тогда
$q = \frac{q_{0}d}{d_{0} + d} = \frac{q_{0}d}{d_{0} + d_{0} \frac{t_{0} - t}{t_{0} + t}} = \frac{q_{0} (t_{0} + t)}{2t_{0}}$. (2)
Таким образом, заряд $q$ линейно меняется со временем, а значит, искомый ток $I$ будет постоянным.
В начальный момент времени $C = C_{0}$ и, следовательно, $q = q_{0}/2$. Поэтому заряд на переменном конденсаторе изменился за вргмя $t$ от значения $q_{0}/2$ до $q_{0} (t_{0} + t)/2t_{0}$. Изменение заряда за время $t$, очевидно, равно $q_{0}t/2t_{0}$. Это изменение заряда обусловлено протеканием тока $I$ по соединительным проводам:
$It = \frac{q_{0}t}{2t_{0}}$, или $I = \frac{q_{0}}{2t_{0}}$. (3)
Теперь можно определить начальный заряд конденсаторов:
$q_{0} = 2C_{0}V_{0} = \frac{ \epsilon_{0}SV_{0}}{d_{0}}$. (4)
Подставляя значение $q_{0}$ в выражение для тока, получим окончательно
$I = \frac{ \epsilon_{0} SV_{0}}{d_{0}t_{0}}$. (5)
Примечание. При решении данной задачи предполагалось, что в каждый момент времени заряды распределяются пропорционально, значениям емкостей (как это бывает в электростатике). Это условие будет выполнено, если емкости конденсаторов (или одного из них, как в данном случае) меняются достаточно медленно. Количественное рассмотрение, выходящее, однако, за рамки школьного курса, приводит в данной задаче к условию $RC_{0} \ll t_{0}$, где $R$ — сопротивление соединительных проводов.
Два одинаковых плоских конденсатора с площадью пластин $S$ соединены параллельно, заряжены до разности потенциалов $V_{0}$ от батареи и затем отключены от нее. Пластины одного из конденсаторов начинают сближать так, что расстояние между ними изменяется во времени по закону
$d = d_{0} \frac{t_{0} - t}{t_{0} + t}$,
где $d_{0}$ — первоначальное расстояние между пластинами, $t$ — время, $t_{0}$ — некоторая постоянная величина. Определить ток $I$ в проводах, соединяющих конденсаторы.
Решение:
Пусть $C_{0}$ и $C$ — емкости конденсаторов в некоторый момент времени, $q_{0}$ — полный заряд на конденсаторах. Поскольку полный заряд не меняется со временем, а потенциалы на конденсаторах одинаковы, можно записать
$\frac{q_{0} - q}{C_{0}} = \frac{q}{C}$ или $(q_{0} - q)d_{0} = qd$; (1)
здесь $q$ н $d$ — заряд н расстояние между пластинами переменного конденсатора в некоторый момент времени $t$. Тогда
$q = \frac{q_{0}d}{d_{0} + d} = \frac{q_{0}d}{d_{0} + d_{0} \frac{t_{0} - t}{t_{0} + t}} = \frac{q_{0} (t_{0} + t)}{2t_{0}}$. (2)
Таким образом, заряд $q$ линейно меняется со временем, а значит, искомый ток $I$ будет постоянным.
В начальный момент времени $C = C_{0}$ и, следовательно, $q = q_{0}/2$. Поэтому заряд на переменном конденсаторе изменился за вргмя $t$ от значения $q_{0}/2$ до $q_{0} (t_{0} + t)/2t_{0}$. Изменение заряда за время $t$, очевидно, равно $q_{0}t/2t_{0}$. Это изменение заряда обусловлено протеканием тока $I$ по соединительным проводам:
$It = \frac{q_{0}t}{2t_{0}}$, или $I = \frac{q_{0}}{2t_{0}}$. (3)
Теперь можно определить начальный заряд конденсаторов:
$q_{0} = 2C_{0}V_{0} = \frac{ \epsilon_{0}SV_{0}}{d_{0}}$. (4)
Подставляя значение $q_{0}$ в выражение для тока, получим окончательно
$I = \frac{ \epsilon_{0} SV_{0}}{d_{0}t_{0}}$. (5)
Примечание. При решении данной задачи предполагалось, что в каждый момент времени заряды распределяются пропорционально, значениям емкостей (как это бывает в электростатике). Это условие будет выполнено, если емкости конденсаторов (или одного из них, как в данном случае) меняются достаточно медленно. Количественное рассмотрение, выходящее, однако, за рамки школьного курса, приводит в данной задаче к условию $RC_{0} \ll t_{0}$, где $R$ — сопротивление соединительных проводов.
