2018-01-05
Во сколько раз следует повысить напряжение источника, чтобы потери мощности (в подводящих проводах от источника к потребителю) снизить в 100 раз при условии постоянства отдаваемой генератором мощности?
Решение:
Полная мощность, выделяющаяся в цепи (см. рис.):
$W_{0} = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{R+r}$, (1)
где $R$ — сопротивление нагрузки, а $r$ — сопротивление линии передачи и источника. При $R = R_{1}$ мощность потерь
$W_{1п} = \left ( \frac{ \mathcal{E}_{1}}{R_{1} + r} \right )^{2} r$, (2)
где $\mathcal{E}_{1}$ — начальное напряжение источника. Повысив напряжение до $\mathcal{E}_{2}$, необходимо изменить и сопротивление нагрузки, так как отдаваемая генератором мощность должна оставаться постоянной (см. формулу (1)). Имеем
$W_{2п} = \left ( \frac{ \mathcal{E}_{2}}{R_{2} + r} \right )^{2}$. (3)
По условию,
$N = \frac{W_{1п}}{W_{2п}} = \left ( \frac{ \mathcal{E}_{1}}{ \mathcal{E}_{2}} \right )^{2} \left ( \frac{R_{2} + r}{R_{1} + r} \right )^{2} = 100$. (4)
Полная мощность в первом случае ($\mathcal{E} = \mathcal{E}_{1}, R = R_{1}$) равна
$W_{1} = \frac{ \mathcal{E}_{1}^{2}}{R_{1} + r}$. (5)
Во втором случае ($\mathcal{E} = \mathcal{E}_{2}, R = R_{2}$)
$W_{2} = \frac{ \mathcal{E}_{2}^{2}}{R_{2} + r}$. (6)
Используя условие $W_{1} = W_{2}$, получим
$\frac{R_{2} + r}{R_{1} + r} = \left ( \frac{ \mathcal{E}_{2}}{ \mathcal{E}_{1}} \right )^{2}$. (7)
Подставим равенство (7) в уравнение (4)
$\left ( \frac{ \mathcal{E}_{1}}{ \mathcal{E}_{2}} \right)^{2} \left ( \frac{ \mathcal{E}_{2}}{ \mathcal{E}_{1}} \right )^{4} = \frac{ \mathcal{E}_{2}^{2}}{ \mathcal{E}_{1}^{2}} = 100$.
Таким образом, напряжение следует повысить в
$n = \frac{ \mathcal{E}_{2}}{ \mathcal{E}_{1}} = 10$ раз.