Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 590
2014-06-01 
Лифтер высотного здания, будучи человеком пунктуальным, повесил на стену лифта точные маятниковые часы, чтобы знать, когда кончается рабочий день. Время движения лифта с ускорением, направленным вверх и направленным вниз, одинаково (по неподвижным часам); одинаковы также модули ускорений.
Как вы думаете, закончит ли лифтер работу вовремя, переработает или недоработает?
Решение:
Период математическою маятника обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения:
$T \sim 1/\sqrt{g}$.
Пусть модуль ускорения лифта равен $a$. Тогда период маятника при движении лифта вверх с ускорением $a$ будет пропорционален
$T_{в} \sim 1/ \sqrt{g+a}$,
при движении лифта вниз с ускорением $a$
$T_{н} \sim 1/ \sqrt{g-a}$.
Ясно, что время, которое отсчитывают маятниковые часы при движении вверх с ускорением $a$, пропорционально отношению времени $t_{в}$ равноускоренного движения вверх к периоду $T_{в}$:
$t^{\prime}_{в} = t_{в}/T_{в} \sim t_{в} \sqrt{g+a}$.
Время, которое отсчитывают маятниковые часы при движении вниз с ускорением $a$, равно
$t^{\prime}_{н} = t_{н}/T_{н} \sim t_{н} \sqrt{g-a}$.
По условию задачи времена равноускоренного движения вниз и вверх равны: $t_{н} = t_{в} = t_{1}/2$, где $t_{1}$ - полное время движения лифта с ускорением. В итоге время, которое отсчитывают маятниковые часы за рабочий день, равно
$t^{\prime} \approx (t_{1}/2)[\sqrt{(g+a)/g}+\sqrt{(g-a)/g}] + t_{0}$.
Здесь $t_{0}$ - время движения лифта без ускорения. Неподвижные маятниковые часы показали бы время
$t \approx t_{1}+t_{0}$.
Легко убедиться, что выполняется неравенство $\sqrt{g+a} + \sqrt{g-a} < 2 \sqrt{g}$.
Действительно,
$\left ( \frac{\sqrt{g+a} + \sqrt{g-a}}{2 \sqrt{g}} \right )^{2} = \frac{g+ \sqrt{g^{2}-a^{2}}}{2g} < 1$.
Отсюда вытекает, что маятниковые часы в лифте в среднем идут медленнее: $t^{\prime} < t$ и, следовательно, лифтер переработает.
Лифтер высотного здания, будучи человеком пунктуальным, повесил на стену лифта точные маятниковые часы, чтобы знать, когда кончается рабочий день. Время движения лифта с ускорением, направленным вверх и направленным вниз, одинаково (по неподвижным часам); одинаковы также модули ускорений.
Как вы думаете, закончит ли лифтер работу вовремя, переработает или недоработает?
Решение:
Период математическою маятника обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения:
$T \sim 1/\sqrt{g}$.
Пусть модуль ускорения лифта равен $a$. Тогда период маятника при движении лифта вверх с ускорением $a$ будет пропорционален
$T_{в} \sim 1/ \sqrt{g+a}$,
при движении лифта вниз с ускорением $a$
$T_{н} \sim 1/ \sqrt{g-a}$.
Ясно, что время, которое отсчитывают маятниковые часы при движении вверх с ускорением $a$, пропорционально отношению времени $t_{в}$ равноускоренного движения вверх к периоду $T_{в}$:
$t^{\prime}_{в} = t_{в}/T_{в} \sim t_{в} \sqrt{g+a}$.
Время, которое отсчитывают маятниковые часы при движении вниз с ускорением $a$, равно
$t^{\prime}_{н} = t_{н}/T_{н} \sim t_{н} \sqrt{g-a}$.
По условию задачи времена равноускоренного движения вниз и вверх равны: $t_{н} = t_{в} = t_{1}/2$, где $t_{1}$ - полное время движения лифта с ускорением. В итоге время, которое отсчитывают маятниковые часы за рабочий день, равно
$t^{\prime} \approx (t_{1}/2)[\sqrt{(g+a)/g}+\sqrt{(g-a)/g}] + t_{0}$.
Здесь $t_{0}$ - время движения лифта без ускорения. Неподвижные маятниковые часы показали бы время
$t \approx t_{1}+t_{0}$.
Легко убедиться, что выполняется неравенство $\sqrt{g+a} + \sqrt{g-a} < 2 \sqrt{g}$.
Действительно,
$\left ( \frac{\sqrt{g+a} + \sqrt{g-a}}{2 \sqrt{g}} \right )^{2} = \frac{g+ \sqrt{g^{2}-a^{2}}}{2g} < 1$.
Отсюда вытекает, что маятниковые часы в лифте в среднем идут медленнее: $t^{\prime} < t$ и, следовательно, лифтер переработает.
