Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5894
2018-01-01 
По кольцу могут свободно перемещаться три шарика, несущие заряды: $+q_{1}$ на одном шарике и $+q_{2}$ на каждом из двух других. Чему равно отношение зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$, если при равновесии дуга между зарядами $q_{2}$ составляет $60^{ \circ}$?
Решение:
Для равновесия зарядов необходимо, чтобы сумма проекций всех электрических сил, приложенных к каждому заряду, на направление касательной к кольцу равнялась нулю (рис.). Результирующая электрическая сила в этом случае перпендикулярна к окружности и уравновешивается силой реакции кольца.
Так как заряды в точках $B_{1}$ и $B_{2}$ равны между собой, то заряд $q_{1}$ может быть расположен только в точке, находящейся на равных расстояниях от точек $B_{1}$ к $B_{2}$. В соответствии со сказанным, проекции сил $f_{21}$ н $f_{22}$, действующих на заряд $q_{2}$ в точке $B_{1}$ со стороны двух других зарядов, на направление касательной к окружности $TT_{1}$ в точке $B_{1}$ должны быть равны друг другу, т. е.
$f_{21} \cos \gamma_{1} = f_{22} \cos \gamma_{2}$. (1)
Но $f_{21} = \frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r_{12}^{2}}$, где (из треугольника $AB_{1}O$) $r_{12} = 2R \cos \frac{ \beta}{2}$:
$f_{21} = \frac{q_{1}q_{2}}{16 \pi \epsilon_{0} R^{2} \cos^{2} \frac{ \beta}{2}}$. (2)
Далее, $f_{22} = \frac{q_{2}^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r_{22}^{2}}$, где $r_{22} = 2R \sin \frac{ \alpha}{2}$, т. e.
$f_{22} = \frac{q_{2}^{2}}{16 \pi \epsilon_{0} R^{2} \sin^{2} \frac{ \alpha }{2}}$. (3)
Рассматривая углы при вершине $B_{1}$, мы можем написать
$\frac{ \beta}{2} + \gamma_{1} = 90^{ \circ}$, (4)
$90^{ \circ} - \frac{ \alpha}{2} + \gamma_{1} + \gamma_{2} + \frac{ \beta}{2} = 180^{ \circ}$. (5)
Из уравнений (1) - (5), учитывая, что $\beta = \alpha /2$, получим
$\frac{q_{1}}{q_{2}} = \frac{ \cos \frac{ \alpha}{2} \cos^{2} \frac{ \beta}{2}}{ \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} \sin \frac{ \beta}{2}} = \frac{ \cos \frac{ \alpha}{2}}{ 4 \sin^{3} \frac{ \alpha}{4}} = 12,5$.
По кольцу могут свободно перемещаться три шарика, несущие заряды: $+q_{1}$ на одном шарике и $+q_{2}$ на каждом из двух других. Чему равно отношение зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$, если при равновесии дуга между зарядами $q_{2}$ составляет $60^{ \circ}$?
Решение:
Для равновесия зарядов необходимо, чтобы сумма проекций всех электрических сил, приложенных к каждому заряду, на направление касательной к кольцу равнялась нулю (рис.). Результирующая электрическая сила в этом случае перпендикулярна к окружности и уравновешивается силой реакции кольца.
Так как заряды в точках $B_{1}$ и $B_{2}$ равны между собой, то заряд $q_{1}$ может быть расположен только в точке, находящейся на равных расстояниях от точек $B_{1}$ к $B_{2}$. В соответствии со сказанным, проекции сил $f_{21}$ н $f_{22}$, действующих на заряд $q_{2}$ в точке $B_{1}$ со стороны двух других зарядов, на направление касательной к окружности $TT_{1}$ в точке $B_{1}$ должны быть равны друг другу, т. е.
$f_{21} \cos \gamma_{1} = f_{22} \cos \gamma_{2}$. (1)
Но $f_{21} = \frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r_{12}^{2}}$, где (из треугольника $AB_{1}O$) $r_{12} = 2R \cos \frac{ \beta}{2}$:
$f_{21} = \frac{q_{1}q_{2}}{16 \pi \epsilon_{0} R^{2} \cos^{2} \frac{ \beta}{2}}$. (2)
Далее, $f_{22} = \frac{q_{2}^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r_{22}^{2}}$, где $r_{22} = 2R \sin \frac{ \alpha}{2}$, т. e.
$f_{22} = \frac{q_{2}^{2}}{16 \pi \epsilon_{0} R^{2} \sin^{2} \frac{ \alpha }{2}}$. (3)
Рассматривая углы при вершине $B_{1}$, мы можем написать
$\frac{ \beta}{2} + \gamma_{1} = 90^{ \circ}$, (4)
$90^{ \circ} - \frac{ \alpha}{2} + \gamma_{1} + \gamma_{2} + \frac{ \beta}{2} = 180^{ \circ}$. (5)
Из уравнений (1) - (5), учитывая, что $\beta = \alpha /2$, получим
$\frac{q_{1}}{q_{2}} = \frac{ \cos \frac{ \alpha}{2} \cos^{2} \frac{ \beta}{2}}{ \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} \sin \frac{ \beta}{2}} = \frac{ \cos \frac{ \alpha}{2}}{ 4 \sin^{3} \frac{ \alpha}{4}} = 12,5$.
