Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5891
2018-01-01 
Пробирку длиной $L$ заполнили водородом под давлением $P_{0}$, закрыли легким подвижным поршнем и погрузили в сосуд со ртутью на глубину $H$ (рис. ). Какая часть длины пробирки будет при этом заполнена водородом? При каких значениях $H$ задача имеет решение? Плотность ртути $\rho$, внешнее давление $P_{a}$, температура водорода поддерживается неизменной.
Решение:
Поршень будет в равновесии, если давление в пробирке будет равно $P_{a} + \rho g (H - x)$. Тогда по закону Бойля — Маряотта получаем
$[P_{a} + \rho g(H - x)]xS = P_{0}LS$,
$x^{2} - \left ( H + \frac{P_{a}}{ \rho g} \right ) + \frac{P_{0}L}{ \rho g} = 0$,
$x_{1,2} = \frac{1}{2} \left ( H + \frac{P_{a}}{ \rho g} \right ) \pm \sqrt{ \frac{1}{4} \left ( H + \frac{P_{a}}{ \rho g} \right )^{2} - \frac{P_{0}L}{ \rho g}}$.
Определим, какое из полученных решений годится. Для этого изобразим на графике закон Бойля - Мариотта для газа внутри пробирки. В данном случае закон Бойля — Мариотта можно записать так: $Px = const$ (кривая 1 на рис.). Кроме того, на том же графике построим зависимость давления в жидкости на глубине $H - x$ как функцию $x: P = P_{a} + \rho g (H - x)$ (прямая II).
Для равновесия поршня нужно, чтобы оба давления были равны; этому соответствуют точки пересечения кривой I и прямой II — точки a и b. Но нетрудно видеть, что положение поршня в точке Ъ является положением неустойчивого равновесия. Действительно, если объем газа случайно немного увеличится, гидростатическое давление уменьшится сильнее, чем давление газа в сосуде, и газ вытолкнет пробку. Если же объем немного уменьшится, то гидростатическое давление возрастет сильнее, чем давление газа, а пробка будет проваливаться внутрь пробирки до положения $x_{a}$. Из тех же соображений видно, что $x_{a}$ — положение устойчивого равновесия. Итак,
$x = \frac{1}{2} \left ( H + \frac{P_{a}}{ \rho g} \right ) - \sqrt{ \frac{1}{4} \left ( H + \frac{P_{a}}{ \rho g} \right )^{2} - \frac{P_{0}L}{ \rho g}}$.
Задача имеет решение, если подкоренное выражение больше нуля, т. е.
$\frac{1}{4} \left ( H + \frac{P_{a}}{ \rho g} \right )^{2} - \frac{P_{0}L}{ \rho g} > 0$, или $H > 2 \sqrt{ \frac{P_{0}L}{ \rho g}} - \frac{P_{a}}{ \rho g}$.
На рис. это соответствует условию, что прямая II проходит правее прямой III.
Пробирку длиной $L$ заполнили водородом под давлением $P_{0}$, закрыли легким подвижным поршнем и погрузили в сосуд со ртутью на глубину $H$ (рис. ). Какая часть длины пробирки будет при этом заполнена водородом? При каких значениях $H$ задача имеет решение? Плотность ртути $\rho$, внешнее давление $P_{a}$, температура водорода поддерживается неизменной.
Решение:
Поршень будет в равновесии, если давление в пробирке будет равно $P_{a} + \rho g (H - x)$. Тогда по закону Бойля — Маряотта получаем
$[P_{a} + \rho g(H - x)]xS = P_{0}LS$,
$x^{2} - \left ( H + \frac{P_{a}}{ \rho g} \right ) + \frac{P_{0}L}{ \rho g} = 0$,
$x_{1,2} = \frac{1}{2} \left ( H + \frac{P_{a}}{ \rho g} \right ) \pm \sqrt{ \frac{1}{4} \left ( H + \frac{P_{a}}{ \rho g} \right )^{2} - \frac{P_{0}L}{ \rho g}}$.
Определим, какое из полученных решений годится. Для этого изобразим на графике закон Бойля - Мариотта для газа внутри пробирки. В данном случае закон Бойля — Мариотта можно записать так: $Px = const$ (кривая 1 на рис.). Кроме того, на том же графике построим зависимость давления в жидкости на глубине $H - x$ как функцию $x: P = P_{a} + \rho g (H - x)$ (прямая II).
Для равновесия поршня нужно, чтобы оба давления были равны; этому соответствуют точки пересечения кривой I и прямой II — точки a и b. Но нетрудно видеть, что положение поршня в точке Ъ является положением неустойчивого равновесия. Действительно, если объем газа случайно немного увеличится, гидростатическое давление уменьшится сильнее, чем давление газа в сосуде, и газ вытолкнет пробку. Если же объем немного уменьшится, то гидростатическое давление возрастет сильнее, чем давление газа, а пробка будет проваливаться внутрь пробирки до положения $x_{a}$. Из тех же соображений видно, что $x_{a}$ — положение устойчивого равновесия. Итак,
$x = \frac{1}{2} \left ( H + \frac{P_{a}}{ \rho g} \right ) - \sqrt{ \frac{1}{4} \left ( H + \frac{P_{a}}{ \rho g} \right )^{2} - \frac{P_{0}L}{ \rho g}}$.
Задача имеет решение, если подкоренное выражение больше нуля, т. е.
$\frac{1}{4} \left ( H + \frac{P_{a}}{ \rho g} \right )^{2} - \frac{P_{0}L}{ \rho g} > 0$, или $H > 2 \sqrt{ \frac{P_{0}L}{ \rho g}} - \frac{P_{a}}{ \rho g}$.
На рис. это соответствует условию, что прямая II проходит правее прямой III.
