Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5882
2018-01-01 
Шахта глубиной $h = 224 м$ пробурена в склоне горы и имеет горизонтальный выход (рис.). Температура наружного воздуха равна $t_{0} = 0^{ \circ} С$, средняя температура воздуха внутри шахты равна $t = 14^{ \circ} С$. Вертикальный ствол шахты имеет сечение $S = 3,5 м^{2}$. Какую силу нужно приложить к заслонке, чтобы закрыть сверху вертикальный ствол? Давление воздуха на уровне горизонтального ствола шахты равно 760 мм рт. ст. Молекулярный вес воздуха $\mu$ принять равным 29.
Решение:
Поскольку горизонтальный ствол шахты сообщается с атмосферой, давление воздуха здесь равно атмосферному: $P_{0} = 760 мм рт. ст.$ В верхней части шахты (под заслонкой) давление воздуха будет равно
$P_{1} = P_{0} - \rho_{1}gh$,
где $\rho_{1}$ — плотность воздуха внутри шахты. Аналогичным образом давление воздуха над заслонкой будет равно
$P_{2} = P_{0} - \rho_{0}gh$,
где $\rho_{2}$ — плотность наружного воздуха.
Прн написании этих соотношений, очевидно, предполагалось, что плотности воздуха $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ не меняются заметным образом при изменении высоты на величину $h$. Это предположение справедливо, если изменения давления с высотой (т. е. $\rho_{1}gh$ и $\rho_{2}gh$) были малы по сравнению с $P_{0}$. Плотности воздуха $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ могут быть определены из уравнения газового состояния
$\rho_{1} = \frac{ \mu P_{0}}{RT}, \rho_{2} = \frac{ \mu P_{0}}{RT_{0}}$,
где $T$ и $T_{0}$ — абсолютные температуры воздуха внутри и вне шахты соответственно, $R$ — универсальная газовая постоянная). Разность давлений
$P_{1} - P_{2} = gh \frac{ \mu P_{0}}{R} \left ( \frac{1}{T_{0}} - \frac{1}{T} \right ) = gh \mu \frac{P_{0}}{RT_{0}} \left ( 1 - \frac{T_{0}}{T} \right )$.
Поскольку $T_{0} = 273^{ \circ} К$ (нормальная температура), величина $RT_{0}/P_{0}$ имеет смысл объема, который занимает одна грамм-молекула газа при нормальных условиях. Обозначим эту величину через $V_{0} = 22,4 л$. Запишем теперь выражение для силы, действующей на заслонку из-за разности давлений:
$F = S(P_{1} - P_{2}) = Sgh \frac{ \mu}{ V_{0}} \left ( 1 - \frac{T_{0}}{T} \right )$.
Эта сила направлена вверх, так как $P_{1} > P_{2}$. Для удержания заслонки в равновесии к ней нужно приложить внешнюю силу, направленную вниз и равную по величине $F$. Подстановка числовых значений в выражение для $F$ дает
$F = \frac{3,5 \cdot 9,8 \cdot 224 \cdot 29 \cdot 10^{-3} \left ( 1 - \frac{273}{287} \right )}{22,4 \cdot 10^{-3}} \approx 500 Н \approx 50 кГ$.
В справедливости сделанного выше предположения о постоянстве $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ можно убедиться с помощью несложного числового расчета, который здесь не приводится.
Шахта глубиной $h = 224 м$ пробурена в склоне горы и имеет горизонтальный выход (рис.). Температура наружного воздуха равна $t_{0} = 0^{ \circ} С$, средняя температура воздуха внутри шахты равна $t = 14^{ \circ} С$. Вертикальный ствол шахты имеет сечение $S = 3,5 м^{2}$. Какую силу нужно приложить к заслонке, чтобы закрыть сверху вертикальный ствол? Давление воздуха на уровне горизонтального ствола шахты равно 760 мм рт. ст. Молекулярный вес воздуха $\mu$ принять равным 29.
Решение:
Поскольку горизонтальный ствол шахты сообщается с атмосферой, давление воздуха здесь равно атмосферному: $P_{0} = 760 мм рт. ст.$ В верхней части шахты (под заслонкой) давление воздуха будет равно
$P_{1} = P_{0} - \rho_{1}gh$,
где $\rho_{1}$ — плотность воздуха внутри шахты. Аналогичным образом давление воздуха над заслонкой будет равно
$P_{2} = P_{0} - \rho_{0}gh$,
где $\rho_{2}$ — плотность наружного воздуха.
Прн написании этих соотношений, очевидно, предполагалось, что плотности воздуха $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ не меняются заметным образом при изменении высоты на величину $h$. Это предположение справедливо, если изменения давления с высотой (т. е. $\rho_{1}gh$ и $\rho_{2}gh$) были малы по сравнению с $P_{0}$. Плотности воздуха $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ могут быть определены из уравнения газового состояния
$\rho_{1} = \frac{ \mu P_{0}}{RT}, \rho_{2} = \frac{ \mu P_{0}}{RT_{0}}$,
где $T$ и $T_{0}$ — абсолютные температуры воздуха внутри и вне шахты соответственно, $R$ — универсальная газовая постоянная). Разность давлений
$P_{1} - P_{2} = gh \frac{ \mu P_{0}}{R} \left ( \frac{1}{T_{0}} - \frac{1}{T} \right ) = gh \mu \frac{P_{0}}{RT_{0}} \left ( 1 - \frac{T_{0}}{T} \right )$.
Поскольку $T_{0} = 273^{ \circ} К$ (нормальная температура), величина $RT_{0}/P_{0}$ имеет смысл объема, который занимает одна грамм-молекула газа при нормальных условиях. Обозначим эту величину через $V_{0} = 22,4 л$. Запишем теперь выражение для силы, действующей на заслонку из-за разности давлений:
$F = S(P_{1} - P_{2}) = Sgh \frac{ \mu}{ V_{0}} \left ( 1 - \frac{T_{0}}{T} \right )$.
Эта сила направлена вверх, так как $P_{1} > P_{2}$. Для удержания заслонки в равновесии к ней нужно приложить внешнюю силу, направленную вниз и равную по величине $F$. Подстановка числовых значений в выражение для $F$ дает
$F = \frac{3,5 \cdot 9,8 \cdot 224 \cdot 29 \cdot 10^{-3} \left ( 1 - \frac{273}{287} \right )}{22,4 \cdot 10^{-3}} \approx 500 Н \approx 50 кГ$.
В справедливости сделанного выше предположения о постоянстве $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ можно убедиться с помощью несложного числового расчета, который здесь не приводится.
