Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5878
2018-01-01 
Между двумя стенками помещен стержень постоянного сечения $S$, состоящий из двух частей одинаковой длины $l/2$, имеющих коэффициент теплового расширения $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ и модули Юнга $E_{1}$ и $E_{2}$ соответственно. При температуре $T_{1}$ торцы стержня лишь касаются стенок. С какой силой стержень будет давить на стенки, и насколько сместится место стыка частей стержня, если стержень нагреть до температуры $T_{2}$? Деформацией стенок пренебречь.
Решение:
При нагревании стержня от температуры $T_{1}$ до температуры $T_{2}$ без ограничивающих стенок он удлинится на величину
$\Delta l = \Delta l_{1} + \Delta l_{2} = \frac{l}{2} ( \alpha_{1} + \alpha_{2})(T_{2} - T_{1})$. (1)
При ограничивающих стенках нагретый стержень окажется сжатым на такую же величину. По закону Гука (сжимающая сила $F$ в обеих половинах стержня одинакова)
$\Delta l = \frac{l_{1}}{E_{1}} \frac{F}{S} + \frac{l_{2}}{E_{2}} \frac{F}{S} \approx \frac{l}{2} \left ( \frac{1}{E_{1}} + \frac{1}{E_{2}} \right ) \frac{F}{S}$. (2)
Это соотношение, вообще говоря, является приближенным, так как мы заменили длины $l_{1}$ и $l_{2}$ обеих частей стержня при температуре $T_{2}$ нх длинами $l/2$ при температуре $T_{1}$. Легко, однако, понять, что относительная ошибка при определении $\Delta l$ по этой формуле будет порядка $\Delta l/l$ и, следовательно, наше приближение является очень хорошим (так как $\Delta l \ll l$).
Из соотношений (1) и (2) найдем
$F = \frac{ \alpha_{1} + \alpha_{2}}{E_{1} + E_{2}} E_{1}E_{2}S(T_{2} - T_{1})$.
Смещение $\Delta L$ места стыка можно определить, приняв во внимание, что оно складывается из перемещения за счет температурного расширения (например, первой половины стержня) и обратного перемещения за счет сжатия:
$\Delta L = \frac{l}{2} \left [ \alpha_{1} (T_{2} - T_{1}) - \frac{F}{E_{1}S} \right ] = \frac{l}{2} \frac{ \alpha_{1}E_{1} + \alpha_{2}E_{2}}{E_{1} + E_{2}} (T_{2} - T_{1})$.
Между двумя стенками помещен стержень постоянного сечения $S$, состоящий из двух частей одинаковой длины $l/2$, имеющих коэффициент теплового расширения $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ и модули Юнга $E_{1}$ и $E_{2}$ соответственно. При температуре $T_{1}$ торцы стержня лишь касаются стенок. С какой силой стержень будет давить на стенки, и насколько сместится место стыка частей стержня, если стержень нагреть до температуры $T_{2}$? Деформацией стенок пренебречь.
Решение:
При нагревании стержня от температуры $T_{1}$ до температуры $T_{2}$ без ограничивающих стенок он удлинится на величину
$\Delta l = \Delta l_{1} + \Delta l_{2} = \frac{l}{2} ( \alpha_{1} + \alpha_{2})(T_{2} - T_{1})$. (1)
При ограничивающих стенках нагретый стержень окажется сжатым на такую же величину. По закону Гука (сжимающая сила $F$ в обеих половинах стержня одинакова)
$\Delta l = \frac{l_{1}}{E_{1}} \frac{F}{S} + \frac{l_{2}}{E_{2}} \frac{F}{S} \approx \frac{l}{2} \left ( \frac{1}{E_{1}} + \frac{1}{E_{2}} \right ) \frac{F}{S}$. (2)
Это соотношение, вообще говоря, является приближенным, так как мы заменили длины $l_{1}$ и $l_{2}$ обеих частей стержня при температуре $T_{2}$ нх длинами $l/2$ при температуре $T_{1}$. Легко, однако, понять, что относительная ошибка при определении $\Delta l$ по этой формуле будет порядка $\Delta l/l$ и, следовательно, наше приближение является очень хорошим (так как $\Delta l \ll l$).
Из соотношений (1) и (2) найдем
$F = \frac{ \alpha_{1} + \alpha_{2}}{E_{1} + E_{2}} E_{1}E_{2}S(T_{2} - T_{1})$.
Смещение $\Delta L$ места стыка можно определить, приняв во внимание, что оно складывается из перемещения за счет температурного расширения (например, первой половины стержня) и обратного перемещения за счет сжатия:
$\Delta L = \frac{l}{2} \left [ \alpha_{1} (T_{2} - T_{1}) - \frac{F}{E_{1}S} \right ] = \frac{l}{2} \frac{ \alpha_{1}E_{1} + \alpha_{2}E_{2}}{E_{1} + E_{2}} (T_{2} - T_{1})$.
