Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5876
2018-01-01 
Латунное кольцо сечением $2 \times 5$ мм и диаметром в несколько сантиметров было нагрето до температуры $573^{ \circ} К$ и плотно надето на стальной цилиндр, имеющий температуру $291^{ \circ} К$. Какое усилие на разрыв испытывает кольцо после охлаждения до $291^{ \circ} К$? Коэффициент линейного расширения латуни $\alpha = 1,84 \cdot 10^{-5} 1/град$. Модуль Юнга $E = 6,47 \cdot 10^{10} Н/м^{2}$.
Решение:
При нагревании длина внутренней окружности кольца увеличилась:
$l = l_{0}[1 + \alpha (T_{1} - T_{2})], \frac{l - l_{0}}{l_{0}} = \alpha (T_{1} - T_{2})$,
где $l$ и $l_{0}$ — длины внутренней окружности при температурах $T_{1} = 573^{ \circ} К$ и $T_{2} = 291^{ \circ} К$ соответственно, а $\alpha$ — коэффициент линейного расширения. Пренебрегая уменьшением диаметра стального цилиндра под действием сжимающих усилий со стороны кольца, можно считать, что после охлаждения кольца длина его внутренней окружности остается равной $l$ и кольцо окажется растянутым упругими силами. Так как в нашем случае толщина кольца мала по сравнению с его диаметром, можно считать, что относительные удлинения всех слоев кольца одинаковы и равны $(l - l_{0})/h$. Тогда растяжение кольца можно связать с растягивающим усилием при помощи закона Гука:
$\frac{l - l_{0}}{l_{0}} = \frac{1}{E} \frac{F}{S}$,
где $F$ — растягивающая сила, $S$ —сечение кольца, а $E$ - модуль Юнга. Окончательно для $F$ получаем
$F = E \alpha (T_{1} - T_{2}) = 3360 Н$.
Это решение не вполне точно не только потому, что мы заменили неоднородную деформацию кольца однородным растяжением, но и потому, что радиальные напряжения в кольце вызывают изменение длины его окружности. Чем меньше толщина кольца по сравнению с его диаметром, тем меньше поправки, вносимые этими обстоятельствами.
Латунное кольцо сечением $2 \times 5$ мм и диаметром в несколько сантиметров было нагрето до температуры $573^{ \circ} К$ и плотно надето на стальной цилиндр, имеющий температуру $291^{ \circ} К$. Какое усилие на разрыв испытывает кольцо после охлаждения до $291^{ \circ} К$? Коэффициент линейного расширения латуни $\alpha = 1,84 \cdot 10^{-5} 1/град$. Модуль Юнга $E = 6,47 \cdot 10^{10} Н/м^{2}$.
Решение:
При нагревании длина внутренней окружности кольца увеличилась:
$l = l_{0}[1 + \alpha (T_{1} - T_{2})], \frac{l - l_{0}}{l_{0}} = \alpha (T_{1} - T_{2})$,
где $l$ и $l_{0}$ — длины внутренней окружности при температурах $T_{1} = 573^{ \circ} К$ и $T_{2} = 291^{ \circ} К$ соответственно, а $\alpha$ — коэффициент линейного расширения. Пренебрегая уменьшением диаметра стального цилиндра под действием сжимающих усилий со стороны кольца, можно считать, что после охлаждения кольца длина его внутренней окружности остается равной $l$ и кольцо окажется растянутым упругими силами. Так как в нашем случае толщина кольца мала по сравнению с его диаметром, можно считать, что относительные удлинения всех слоев кольца одинаковы и равны $(l - l_{0})/h$. Тогда растяжение кольца можно связать с растягивающим усилием при помощи закона Гука:
$\frac{l - l_{0}}{l_{0}} = \frac{1}{E} \frac{F}{S}$,
где $F$ — растягивающая сила, $S$ —сечение кольца, а $E$ - модуль Юнга. Окончательно для $F$ получаем
$F = E \alpha (T_{1} - T_{2}) = 3360 Н$.
Это решение не вполне точно не только потому, что мы заменили неоднородную деформацию кольца однородным растяжением, но и потому, что радиальные напряжения в кольце вызывают изменение длины его окружности. Чем меньше толщина кольца по сравнению с его диаметром, тем меньше поправки, вносимые этими обстоятельствами.
