Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 587
2014-06-01 
Тонкий обруч, шарнирно закрепленный в точке А, располагают в начальный момент так, что его центр масс находится почти прямо над точкой А (рис. 1). После этого обруч отпускают без толчка, и спустя время $\tau = 0,5$ с центр масс обруча занимает крайнее нижнее положение.
Определите время $t$, за которое вернется в нижнее положение равновесия маятник, представляющий собой массивный шарик В, закрепленный на невесомом жестком стержне, длина которого равна радиусу обруча, если в начальный момент шарик занимал почти крайнее верхнее положение (рис. 2) и был отпущен без толчка.
рис.1
рис.2
Решение:
Кинетическая энергия обруча в каждый момент времени складывается из кинетической энергии движения центра масс обруча и кинетической энергии вращения обруча вокруг центра масс. Так как скорость точки А обруча вое время равна нулю, то обе части кинетической энергии равны (скорость центра масс равна линейной скорости вращения относительно центра масс). Поэтому полная кинетическая энергия обруча равна $mv^{2}$ ($m$ - его масса, $v$ - скорость его центра масс). Согласно закону сохранения энергии, $mv^{2}=mg(r-h_{A})$, где $h_{A}$ - высота центра масс обруча над точкой А в каждый момент времени. Следовательно, скорость центра масс обруча равна $v = \sqrt{2g(r-h_{A})}$. В то же время скорость маятника В в момент, когда он находится на высоте $h_{A}$ над осью вращения А, равна $v=\sqrt{2g(r-h_{A})}$, т.е. в $\sqrt{2}$ раза больше. Таким образом, маятник достигнет положения равновесия в $\sqrt{2}$ раз быстрее, чем обруч, т. е. за время
$t = \tau / \sqrt{2} \approx 0,35 с$
Тонкий обруч, шарнирно закрепленный в точке А, располагают в начальный момент так, что его центр масс находится почти прямо над точкой А (рис. 1). После этого обруч отпускают без толчка, и спустя время $\tau = 0,5$ с центр масс обруча занимает крайнее нижнее положение.
Определите время $t$, за которое вернется в нижнее положение равновесия маятник, представляющий собой массивный шарик В, закрепленный на невесомом жестком стержне, длина которого равна радиусу обруча, если в начальный момент шарик занимал почти крайнее верхнее положение (рис. 2) и был отпущен без толчка.
рис.1
рис.2
Решение:
Кинетическая энергия обруча в каждый момент времени складывается из кинетической энергии движения центра масс обруча и кинетической энергии вращения обруча вокруг центра масс. Так как скорость точки А обруча вое время равна нулю, то обе части кинетической энергии равны (скорость центра масс равна линейной скорости вращения относительно центра масс). Поэтому полная кинетическая энергия обруча равна $mv^{2}$ ($m$ - его масса, $v$ - скорость его центра масс). Согласно закону сохранения энергии, $mv^{2}=mg(r-h_{A})$, где $h_{A}$ - высота центра масс обруча над точкой А в каждый момент времени. Следовательно, скорость центра масс обруча равна $v = \sqrt{2g(r-h_{A})}$. В то же время скорость маятника В в момент, когда он находится на высоте $h_{A}$ над осью вращения А, равна $v=\sqrt{2g(r-h_{A})}$, т.е. в $\sqrt{2}$ раза больше. Таким образом, маятник достигнет положения равновесия в $\sqrt{2}$ раз быстрее, чем обруч, т. е. за время
$t = \tau / \sqrt{2} \approx 0,35 с$
