Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5868
2018-01-01 
Лестница вместе с находящимся на ней человеком уравновешена противовесом на веревке, перекинутой через блок. Масса $m$ человека равна массе лестницы, а массой и трением блока можно пренебречь. Па какой высоте $H$ над землей будет находиться человек, если он поднимется по лестнице на $n$ перекладин вверх ($n = 6$)? Расстояние между перекладинами $l = 40 см$. Первоначально человек находился на нижней перекладине на высоте $h = 2 м$ над землей. Можно считать, что при подъеме на каждую перекладину человек движется равноускоренно.
Решение:
Введем обозначения: $T$ —натяжение веревки, $N$ — сила давления человека на лестницу, $a_{ч}, a_{л}$ и $a_{п}$ — ускорения, а $m_{ч}, m_{л}$ и $m_{п}$ — массы соответственно человека, лестницы и противовеса (рис.). Тогда уравнения движения системы будет иметь следующий вид:
$\begin{cases} m_{ч}a_{ч} = N - m_{ч} g, \\ m_{л}a_{л} = N - T + m_{л}g, \\ m_{п} a_{п} = T - m_{п}g. \end{cases}$
Отсюда, учитывая, что
$m_{л} + m_{ч} = m_{п}$, (2)
получим: $m_{л}a_{л} + m_{п}a_{п} - m_{ч}a_{ч} = 0$ или (вспомните вывод закона сохранения количества движения!)
$m_{л}v_{л} + m_{п}v_{п} - m_{ч}v_{ч} = const$, (3)
где $v$ — соответствующие скорости. Заметим, что хотя (3) и очень внешне похоже, но не является законом сохранения количества движения. Действительно, закон сохранения количества движения имеет векторный смысл. В данном случае до начала движения человека количество движения системы равнялось нулю, а после того как человек стал подниматься, количество движения его и противовеса оказались направлены к блоку, и только лестницы —от блока. Учитывая, что скорости лестницы и противовеса численно равны, а масса противовеса вдвое больше, нетрудно видеть, что противовес и человек имеют значительно большее количество движения, чем лестница, и их векторная сумма отлична от нуля.
Поскольку начальное количество движения системы, как уже ( говорилось, равно нулю, соотношение (3) примет вид
$m_{л}v_{л} + m_{п}v_{п} - m_{ч}v_{ч} = 0$. (4)
Если теперь вспомнить, что пути $S$, проходимые различными частями системы, пропорциональны скоростям (времена движения одинаковы), $m_{п} = 2m_{ч} = 2m_{л}$ и $v_{п} = v_{л}$, то вместо (4) получим
$s_{ч} = 3s_{п} = 3s_{л}$. (5)
Перемещения $s_{ч}, s_{л}$ и $s_{п}$, так же как и ускорения в системе (1), должны, разумеется, измеряться относительно блока. Относительно лестницы (веревки) путь человека, очевидно, будет $s_{ч} + s_{л}$, и в данном случае
$s_{ч} + s_{л} = nl$. (6)
Равенства (5) и (6) сразу дают
$s_{ч} = \frac{3}{4} nl$, (7)
а общая высота $H$, на которой окажется человек,
$H = h + s_{ч} = h + \frac{3}{4}nl = 3,8 м$.
Лестница вместе с находящимся на ней человеком уравновешена противовесом на веревке, перекинутой через блок. Масса $m$ человека равна массе лестницы, а массой и трением блока можно пренебречь. Па какой высоте $H$ над землей будет находиться человек, если он поднимется по лестнице на $n$ перекладин вверх ($n = 6$)? Расстояние между перекладинами $l = 40 см$. Первоначально человек находился на нижней перекладине на высоте $h = 2 м$ над землей. Можно считать, что при подъеме на каждую перекладину человек движется равноускоренно.
Решение:
Введем обозначения: $T$ —натяжение веревки, $N$ — сила давления человека на лестницу, $a_{ч}, a_{л}$ и $a_{п}$ — ускорения, а $m_{ч}, m_{л}$ и $m_{п}$ — массы соответственно человека, лестницы и противовеса (рис.). Тогда уравнения движения системы будет иметь следующий вид:
$\begin{cases} m_{ч}a_{ч} = N - m_{ч} g, \\ m_{л}a_{л} = N - T + m_{л}g, \\ m_{п} a_{п} = T - m_{п}g. \end{cases}$
Отсюда, учитывая, что
$m_{л} + m_{ч} = m_{п}$, (2)
получим: $m_{л}a_{л} + m_{п}a_{п} - m_{ч}a_{ч} = 0$ или (вспомните вывод закона сохранения количества движения!)
$m_{л}v_{л} + m_{п}v_{п} - m_{ч}v_{ч} = const$, (3)
где $v$ — соответствующие скорости. Заметим, что хотя (3) и очень внешне похоже, но не является законом сохранения количества движения. Действительно, закон сохранения количества движения имеет векторный смысл. В данном случае до начала движения человека количество движения системы равнялось нулю, а после того как человек стал подниматься, количество движения его и противовеса оказались направлены к блоку, и только лестницы —от блока. Учитывая, что скорости лестницы и противовеса численно равны, а масса противовеса вдвое больше, нетрудно видеть, что противовес и человек имеют значительно большее количество движения, чем лестница, и их векторная сумма отлична от нуля.
Поскольку начальное количество движения системы, как уже ( говорилось, равно нулю, соотношение (3) примет вид
$m_{л}v_{л} + m_{п}v_{п} - m_{ч}v_{ч} = 0$. (4)
Если теперь вспомнить, что пути $S$, проходимые различными частями системы, пропорциональны скоростям (времена движения одинаковы), $m_{п} = 2m_{ч} = 2m_{л}$ и $v_{п} = v_{л}$, то вместо (4) получим
$s_{ч} = 3s_{п} = 3s_{л}$. (5)
Перемещения $s_{ч}, s_{л}$ и $s_{п}$, так же как и ускорения в системе (1), должны, разумеется, измеряться относительно блока. Относительно лестницы (веревки) путь человека, очевидно, будет $s_{ч} + s_{л}$, и в данном случае
$s_{ч} + s_{л} = nl$. (6)
Равенства (5) и (6) сразу дают
$s_{ч} = \frac{3}{4} nl$, (7)
а общая высота $H$, на которой окажется человек,
$H = h + s_{ч} = h + \frac{3}{4}nl = 3,8 м$.
