Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5866
2018-01-01 
Две пластинки с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ соединены спиральной пружиной и расположены таким образом, что пластинка $m_{1}$ находится над пластинкой $m_{2}$, лежащей на столе (рис.).
С какой силой нужно надавить на верхнюю пластинку, чтобы после прекращения действия силы верхняя пластинка, подпрыгнув, приподняла и нижнюю? Массой пружины пренебречь.
Решение:
Представим себе, что мы надавили на пластинку $m_{1}$ с некоторой силой $f$. В результате этого сила $F$, сжимающая пружину, оказалась равной
$F = m_{1}g + f$. (1)
Обратимся теперь к рис. На нем АО соответствует длине пружины в недеформированном состоянии (при $m_{1} = 0$), а АО — $x_{2}$ равно длине пружины после того, как на нее подействовала сила $F$. Если мы перестанем давить на пластинку, то последняя устремится вверх, растягивая пружину, и достигнет точки В. Пластинка $m_{2}$ сможет оторваться от стола, если максимальная сила натяжения пружины будет по крайней мере равна $m_{2}g$ (или больше). Как известно, сила натяжения (или сжатия) пружины пропорциональна удлинению. Поэтому сила $F$, определяемая (1), будет
$F = kx_{2}$, (2)
где $k$ — коэффициент пропорциональности. Эта зависимость графически изображена на рис. Как следует из этого графика энергия пружины, сжатой силой $F$, будет
$\frac{Fx_{2}}{2} = \frac{kx_{2}^{2}}{2}$. (3)
Эта энергия пойдет на изменение потенциальной энергии пластинки $m_{1}$, которое, очевидно, равно $m_{2}g (x_{2} + h)$, где $h = OB$, и на растяжение пружины на длину $h$. Таким образом,
$\frac{kx_{2}^{2}}{2} = m_{1}g(x_{2} + h) + \frac{kh^{2}}{2}$. (4)
Условие задачи требует, чтобы по крайней мере
$kh = m_{2}g$. (5)
Исключая из (4) и (5) величину $h$, найдем
$x_{2}^{2} - \frac{2m_{1}g}{k} x_{2} - \left ( \frac{m_{2}^{2}g^{2}}{k^{2}} + \frac{2m_{1}m_{2}g^{2}}{k^{2}} \right ) = 0$,
откуда
$x_{2} = \frac{m_{1}g}{k} \pm \frac{(m_{1} + m_{2})g}{k}$. (6)
Из (1) и (2) следует, что
$f = F - m_{1}g = kx_{2} - m_{1} g$.
Подставляя в последнее соотношение $x_{2}$ из (6), окончательно получим
$f = (m_{1} + m_{2})g$.
Две пластинки с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ соединены спиральной пружиной и расположены таким образом, что пластинка $m_{1}$ находится над пластинкой $m_{2}$, лежащей на столе (рис.).
С какой силой нужно надавить на верхнюю пластинку, чтобы после прекращения действия силы верхняя пластинка, подпрыгнув, приподняла и нижнюю? Массой пружины пренебречь.
Решение:
Представим себе, что мы надавили на пластинку $m_{1}$ с некоторой силой $f$. В результате этого сила $F$, сжимающая пружину, оказалась равной
$F = m_{1}g + f$. (1)
Обратимся теперь к рис. На нем АО соответствует длине пружины в недеформированном состоянии (при $m_{1} = 0$), а АО — $x_{2}$ равно длине пружины после того, как на нее подействовала сила $F$. Если мы перестанем давить на пластинку, то последняя устремится вверх, растягивая пружину, и достигнет точки В. Пластинка $m_{2}$ сможет оторваться от стола, если максимальная сила натяжения пружины будет по крайней мере равна $m_{2}g$ (или больше). Как известно, сила натяжения (или сжатия) пружины пропорциональна удлинению. Поэтому сила $F$, определяемая (1), будет
$F = kx_{2}$, (2)
где $k$ — коэффициент пропорциональности. Эта зависимость графически изображена на рис. Как следует из этого графика энергия пружины, сжатой силой $F$, будет
$\frac{Fx_{2}}{2} = \frac{kx_{2}^{2}}{2}$. (3)
Эта энергия пойдет на изменение потенциальной энергии пластинки $m_{1}$, которое, очевидно, равно $m_{2}g (x_{2} + h)$, где $h = OB$, и на растяжение пружины на длину $h$. Таким образом,
$\frac{kx_{2}^{2}}{2} = m_{1}g(x_{2} + h) + \frac{kh^{2}}{2}$. (4)
Условие задачи требует, чтобы по крайней мере
$kh = m_{2}g$. (5)
Исключая из (4) и (5) величину $h$, найдем
$x_{2}^{2} - \frac{2m_{1}g}{k} x_{2} - \left ( \frac{m_{2}^{2}g^{2}}{k^{2}} + \frac{2m_{1}m_{2}g^{2}}{k^{2}} \right ) = 0$,
откуда
$x_{2} = \frac{m_{1}g}{k} \pm \frac{(m_{1} + m_{2})g}{k}$. (6)
Из (1) и (2) следует, что
$f = F - m_{1}g = kx_{2} - m_{1} g$.
Подставляя в последнее соотношение $x_{2}$ из (6), окончательно получим
$f = (m_{1} + m_{2})g$.
