Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5862
2018-01-01 
По дорожке, выполненной в виде спирального спуска с радиусом витка спирали $R$ и расстоянием между соседними витками («шаг винта») $H$, положены рельсы. По рельсам скатывается небольшая тележка, причем расстояние между рельсами $h$ и центр тяжести тележки находится от рельсов тоже на высоте $h$. Какое максимальное количество $n$ витков должно быть в спиральном спуске, чтобы тележка в конце спуска не перевернулась? Ширину тележки считать много меньше радиуса спирали.
Решение:
Силы, действующие на тележку, даются формулами (3), (4) и (5) задачи 5861:
$N = mg \cos \alpha$, (1)
$F = \frac{mv^{2}}{R} \cos^{2} \alpha$; (2)
здесь $N$ — вертикальная сила давления рельсов на тележку, $m$ — масса тележки, $F$ — центростремительная сила (горизонтальная сила давления рельсов на тележку), $\alpha$ - угол наклона рельсов по отношению к горизонтальной плоскости, $tg \alpha = H/2 \pi R$,
$v^{2} = 2gnH$. (3)
Чтобы определить условия, при которых тележка перевернется, обратимся к рис. Если ось спирального спуска находится справа от тележки, т. е. рельс А наружный, a D — внутренний, то в момент переворота давление на рельс D исчезнет (тележка переворачивается вокруг наружного рельса); поэтому сила $N$, определяемая формулой (1), окажется приложенной к точке А. К этой же точке будет приложена и центростремительная сила $F$. Для равновесия тележки необходимо, чтобы сумма моментов всех сил относительно центра тяжести тележки (точка О) равнялась нулю. Отсюда $N \frac{h}{2} = Fh$ и, следовательно,
$\frac{N}{2} = F$. (4)
Принимая во внимание (1) —(3), а также очевидное соотношение
$\cos^{2} \alpha = \frac{1}{1 + tg^{2} \alpha} = \frac{4 \pi^{2}R^{2}}{4 \pi^{2} R^{2} + H^{2}}$,
из (4) получим
$n = \frac{R}{4H \cos \alpha} = \frac{ \sqrt{4 \pi^{2}R^{2} + H^{2}}}{8 \pi H} = \frac{1}{8 \pi \sin \alpha}$.
В заключение отметим, что момент исчезновения давления на рельс D действительно является критическим. При повороте тележки вокруг рельса А центр тяжести О будет подниматься и приближаться к линии действия силы $N$. Так как величины сил $F$ и $N$ при этом практически меняться не будут, то в результате поворота тележки момент силы N будет уменьшаться, а момент силы $F$ — увеличиваться. Таким образом, тележке достаточно лишь немного оторваться от рельса D, чтобы она перевернулась.
По дорожке, выполненной в виде спирального спуска с радиусом витка спирали $R$ и расстоянием между соседними витками («шаг винта») $H$, положены рельсы. По рельсам скатывается небольшая тележка, причем расстояние между рельсами $h$ и центр тяжести тележки находится от рельсов тоже на высоте $h$. Какое максимальное количество $n$ витков должно быть в спиральном спуске, чтобы тележка в конце спуска не перевернулась? Ширину тележки считать много меньше радиуса спирали.
Решение:
Силы, действующие на тележку, даются формулами (3), (4) и (5) задачи 5861:
$N = mg \cos \alpha$, (1)
$F = \frac{mv^{2}}{R} \cos^{2} \alpha$; (2)
здесь $N$ — вертикальная сила давления рельсов на тележку, $m$ — масса тележки, $F$ — центростремительная сила (горизонтальная сила давления рельсов на тележку), $\alpha$ - угол наклона рельсов по отношению к горизонтальной плоскости, $tg \alpha = H/2 \pi R$,
$v^{2} = 2gnH$. (3)
Чтобы определить условия, при которых тележка перевернется, обратимся к рис. Если ось спирального спуска находится справа от тележки, т. е. рельс А наружный, a D — внутренний, то в момент переворота давление на рельс D исчезнет (тележка переворачивается вокруг наружного рельса); поэтому сила $N$, определяемая формулой (1), окажется приложенной к точке А. К этой же точке будет приложена и центростремительная сила $F$. Для равновесия тележки необходимо, чтобы сумма моментов всех сил относительно центра тяжести тележки (точка О) равнялась нулю. Отсюда $N \frac{h}{2} = Fh$ и, следовательно,
$\frac{N}{2} = F$. (4)
Принимая во внимание (1) —(3), а также очевидное соотношение
$\cos^{2} \alpha = \frac{1}{1 + tg^{2} \alpha} = \frac{4 \pi^{2}R^{2}}{4 \pi^{2} R^{2} + H^{2}}$,
из (4) получим
$n = \frac{R}{4H \cos \alpha} = \frac{ \sqrt{4 \pi^{2}R^{2} + H^{2}}}{8 \pi H} = \frac{1}{8 \pi \sin \alpha}$.
В заключение отметим, что момент исчезновения давления на рельс D действительно является критическим. При повороте тележки вокруг рельса А центр тяжести О будет подниматься и приближаться к линии действия силы $N$. Так как величины сил $F$ и $N$ при этом практически меняться не будут, то в результате поворота тележки момент силы N будет уменьшаться, а момент силы $F$ — увеличиваться. Таким образом, тележке достаточно лишь немного оторваться от рельса D, чтобы она перевернулась.
