ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-01-01   
Радиус витка цилиндрической спирали, ось которой вертикальна, $R$ и расстояние между соседними витками («шаг винта») $H$. На спираль надевают маленькое колечко массы $M$, которое без трения начинает скользить вдоль спирали. С какой силой колечко будет давить на спираль после того, как оно пройдет $n$ полных витков?


Решение:



Пройдя $n$ витков, колечко опустится на высоту $nH$. Его скорость $v$ при этом будет направлена вдоль спирали и равна

$v = \sqrt{2gnH}$. (1)

Угол $\alpha$ наклона скорости $v$ к горизонту дается соотношением

$tg \alpha = \frac{H}{2 \pi R}$, (2)

которое поясняется рис. Нормальное давление $N$ колечка на спираль, аналогичное давлению тела на наклонную плоскость (рис.), будет равно

$N = mg \cos \alpha$. (3)

Кроме того, со стороны спирали на колечко действует центростремительная сила (очевидно, такая же сила будет действовать и со стороны колечка на спираль):

$F = \frac{mv_{г}^{2}}{R}$, (4)

где $v_{г}$ — горизонтальная проекция скорости $v$.

$v_{г} = v \cos \alpha$. (5)

Сила $F$ направлена вдоль радиуса перпендикулярно к $N$. Полное давление $P$ колечка будет равно векторной сумме $N$ и $F$, откуда

$P_{1} = \sqrt{ N^{2} + F^{2}}$. (6)

Учитывая, что $\cos^{2} \alpha = \frac{1}{1 + tg^{2} \alpha} = \frac{4 \pi^{2} R^{2}}{4 \pi^{2} R^{2} + H^{2}}$, из соотношений (1) - (6) получим

$P = \frac{2 \pi mRg}{4 \pi^{2} R^{2} + H^{2}} \sqrt{ 4 \pi^{2}R^{2} + 16 \pi^{2} n^{2} H^{2} + H^{2} }$.