Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 586
2014-06-01 
Четыре невесомых стержня длины $l$ каждый соединены шарнирно и образуют ромб (рис.). Шарнир А закреплен, а к шарниру С подвешен груз. Шарниры D и В соединены невесомой пружиной, имеющей в недеформированном состоянии длину $1,5 l$. В положении равновесия стержни образуют с вертикалью углы $\alpha_{0} = 30^{\circ}$.
Найдите период $T$ малых колебаний груза.
Решение:
Со стороны стержней на груз девствует сила $F_{1}=2F_{н} \cos \alpha$, на пружину - $F_{2}=2F_{н} \sin \alpha$ (см. рис.). Согласно закону Гука, $F_{2} = (1,5 l – 2 l \sin \alpha) k$, где $k$ - жесткость пружины. В результате
$F_{1}= 1,5 lk ctg \: \alpha – 2lk \cos \alpha$.
Чтобы найти период малых колебаний, нужно определить силу $\Delta F$, действующую на груз при малом изменении высоты груза $\Delta h$ относительно положения равновесия $h_{0}=2l \cos \alpha_{0}$. Получим
$\Delta F = 1,5 lk \Delta (ctg \: \alpha) 2 lk \Delta (\cos \alpha)$,
где
$\Delta (ctg \alpha) = \left ( \frac{d ctg \: \alpha}{d \alpha} \right )_{\alpha = \alpha_{0}} \Delta \alpha = - \frac{\Delta \alpha}{\sin^{2} \alpha_{0}}, \Delta (\cos \alpha) = - \sin \alpha_{0} \cdot \Delta \alpha$.
Следовательно, поскольку $\Delta h = - 2 l \sin \alpha_{0} \Delta \alpha$, то
$\Delta F = - 1,5k \frac{l \Delta \alpha}{\sin^{2} \alpha_{0}} + 2kl \sin \alpha_{0} \Delta \alpha = -5kl \Delta \alpha = -5k \Delta h$,
так как $\sin \alpha_{0}=1/2$.
Период малых колебаний груза найдем по формуле $T=2 \pi \sqrt{m/(5k)}$, где $m$ - масса груза, определяемая из условия равновесия:
$1,5kl ctg \: \alpha_{0} – 2lk \cos \alpha_{0} =mg$,
$m=(\sqrt{3}/2)(kl/g)$.
Таким образом,
$T= 2 \pi \sqrt{\sqrt{3}l/(10g)}$.
Четыре невесомых стержня длины $l$ каждый соединены шарнирно и образуют ромб (рис.). Шарнир А закреплен, а к шарниру С подвешен груз. Шарниры D и В соединены невесомой пружиной, имеющей в недеформированном состоянии длину $1,5 l$. В положении равновесия стержни образуют с вертикалью углы $\alpha_{0} = 30^{\circ}$.
Найдите период $T$ малых колебаний груза.
Решение:
Со стороны стержней на груз девствует сила $F_{1}=2F_{н} \cos \alpha$, на пружину - $F_{2}=2F_{н} \sin \alpha$ (см. рис.). Согласно закону Гука, $F_{2} = (1,5 l – 2 l \sin \alpha) k$, где $k$ - жесткость пружины. В результате
$F_{1}= 1,5 lk ctg \: \alpha – 2lk \cos \alpha$.
Чтобы найти период малых колебаний, нужно определить силу $\Delta F$, действующую на груз при малом изменении высоты груза $\Delta h$ относительно положения равновесия $h_{0}=2l \cos \alpha_{0}$. Получим
$\Delta F = 1,5 lk \Delta (ctg \: \alpha) 2 lk \Delta (\cos \alpha)$,
где
$\Delta (ctg \alpha) = \left ( \frac{d ctg \: \alpha}{d \alpha} \right )_{\alpha = \alpha_{0}} \Delta \alpha = - \frac{\Delta \alpha}{\sin^{2} \alpha_{0}}, \Delta (\cos \alpha) = - \sin \alpha_{0} \cdot \Delta \alpha$.
Следовательно, поскольку $\Delta h = - 2 l \sin \alpha_{0} \Delta \alpha$, то
$\Delta F = - 1,5k \frac{l \Delta \alpha}{\sin^{2} \alpha_{0}} + 2kl \sin \alpha_{0} \Delta \alpha = -5kl \Delta \alpha = -5k \Delta h$,
так как $\sin \alpha_{0}=1/2$.
Период малых колебаний груза найдем по формуле $T=2 \pi \sqrt{m/(5k)}$, где $m$ - масса груза, определяемая из условия равновесия:
$1,5kl ctg \: \alpha_{0} – 2lk \cos \alpha_{0} =mg$,
$m=(\sqrt{3}/2)(kl/g)$.
Таким образом,
$T= 2 \pi \sqrt{\sqrt{3}l/(10g)}$.
