Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5859
2018-01-01 
Стержень OA вращается относительно вертикальной оси ОВ с угловой скоростью $\omega$ (рис.). Угол между осью и стержнем равен $\alpha$. По стержню без трения скользит муфта массой $M$, связанная с точкой О пружиной. Определить положение муфты при вращении, если известно, что длина пружины в недеформированном состоянии равна $l_{0}$, жесткость пружины $k$.
Примечание, Сила $F$ натяжения пружины пропорциональна ее удлинению: $F = kx$, где $x = l - l_{0}$.
Решение:
Силы, действующие на муфту, указаны на рис.: $F = k (l - l_{0})$ — сила упругости пружины, $Mg$ — вес муфты и $N$ — сила реакции со стороны стержня. Поскольку в установившемся режиме муфта вращается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью, сумма всех действующих на нее сил должна быть центростремительной силой, направленной по радиусу окружности, описываемой муфтой. Следовательно, сумма проекций всех сил иа вертикаль должна быть равна нулю:
$N \sin \alpha - Mg - k(l - l_{0}) \cos \alpha = 0$,
откуда
$N = \frac{Mg}{ \sin \alpha} + k (l - l_{0}) \frac{ \cos \alpha}{ \sin \alpha}$.
Рассмотрим теперь сумму проекций всех сил на радиус вращения муфты:
$f_{1} = k(l - l_{0}) \sin \alpha + N \cos \alpha = Mg \frac{ \cos \alpha}{ \sin \alpha} + \frac{k(l - l_{0})}{ \sin \alpha}$.
Как уже было сказано, эта сила в установившемся режиме должна являться центростремительной силой $f_{2} = M \omega^{2} l \sin \alpha$. Равновесное значение $l$ найдется из равенства $f_{1} = f_{2}$:
$l = \frac{kl_{0} - Mg \cos \alpha}{k - M \omega^{2} \sin^{2} \alpha}$.
Исследуем, является ли найденное положение муфты устойчивым. Для этого построим графики $f_{1}(l)$ и $f_{2} (l)$ (Рис.). Это прямые линии, одна из которых $(f_{2})$ всегда проходит через начало координат, ее наклон задается условием $tg \gamma = M \omega^{2} \sin \alpha$. Расположение и наклон второй прямой ($f_{1}$) зависит от параметров системы $tg \beta = \frac{k}{ \sin \alpha}$, a $f_{1}(0) = (Mg \cos \alpha - kl_{0}) \frac{1}{ \sin \alpha}$. Равновесное значение определяется точкой пересечения. Возможны два типа пересечения этих прямых, изображенные на рис. (случаи а и б). Случай а соответствует положению устойчивого равновесия, так как если $l$ немного увеличится, $f_{1}$ возрастет больше, чем необходимо для устойчивого вращения, и система вернется к исходному положению. Точно так же, если $l$ уменьшится, $f_{1}$ окажется меньше, чем $f_{2}$, и радиус окружности будет возрастать, т. е. система и в этом случае вернется в положение равновесия. Из тех же соображений видно, что случай б соответствует положению неустойчивого равновесия.
Как видно из рис., случай а реализуется при выполнении следующих двух условий:
$Mg \frac{ \cos \alpha}{ \sin \alpha} - \frac{kl_{0}}{ \sin \alpha} < 0$,
или
$kl_{0} > Mg \cos \alpha$, (1)
и
$\frac{k}{ \sin \alpha} > M \omega^{2} \sin \alpha$,
или
$\omega < \frac{1}{ \sin \alpha} \sqrt{ \frac{k}{M}}$. (2)
Таким образом, муфта имеет устойчивое положение равновесия на штанге лишь при выполнении условий (1) и (2). Заметим в заключение, что в данной задаче не учитываются силы трения и, следовательно, любые возмущения равновесного режима не должны затухать. Различие между положениями устойчивого и неустойчивого равновесия проявится в следующем: при малом смешении муфты из устойчивого положения равновесия оиа будет в дальнейшем совершать малые колебания около этого положения; при малом смещении из неустойчивого положения муфта уйдет далеко и никогда не вернется в положение, близкое к равновесному.
Стержень OA вращается относительно вертикальной оси ОВ с угловой скоростью $\omega$ (рис.). Угол между осью и стержнем равен $\alpha$. По стержню без трения скользит муфта массой $M$, связанная с точкой О пружиной. Определить положение муфты при вращении, если известно, что длина пружины в недеформированном состоянии равна $l_{0}$, жесткость пружины $k$.
Примечание, Сила $F$ натяжения пружины пропорциональна ее удлинению: $F = kx$, где $x = l - l_{0}$.
Решение:
Силы, действующие на муфту, указаны на рис.: $F = k (l - l_{0})$ — сила упругости пружины, $Mg$ — вес муфты и $N$ — сила реакции со стороны стержня. Поскольку в установившемся режиме муфта вращается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью, сумма всех действующих на нее сил должна быть центростремительной силой, направленной по радиусу окружности, описываемой муфтой. Следовательно, сумма проекций всех сил иа вертикаль должна быть равна нулю:
$N \sin \alpha - Mg - k(l - l_{0}) \cos \alpha = 0$,
откуда
$N = \frac{Mg}{ \sin \alpha} + k (l - l_{0}) \frac{ \cos \alpha}{ \sin \alpha}$.
Рассмотрим теперь сумму проекций всех сил на радиус вращения муфты:
$f_{1} = k(l - l_{0}) \sin \alpha + N \cos \alpha = Mg \frac{ \cos \alpha}{ \sin \alpha} + \frac{k(l - l_{0})}{ \sin \alpha}$.
Как уже было сказано, эта сила в установившемся режиме должна являться центростремительной силой $f_{2} = M \omega^{2} l \sin \alpha$. Равновесное значение $l$ найдется из равенства $f_{1} = f_{2}$:
$l = \frac{kl_{0} - Mg \cos \alpha}{k - M \omega^{2} \sin^{2} \alpha}$.
Исследуем, является ли найденное положение муфты устойчивым. Для этого построим графики $f_{1}(l)$ и $f_{2} (l)$ (Рис.). Это прямые линии, одна из которых $(f_{2})$ всегда проходит через начало координат, ее наклон задается условием $tg \gamma = M \omega^{2} \sin \alpha$. Расположение и наклон второй прямой ($f_{1}$) зависит от параметров системы $tg \beta = \frac{k}{ \sin \alpha}$, a $f_{1}(0) = (Mg \cos \alpha - kl_{0}) \frac{1}{ \sin \alpha}$. Равновесное значение определяется точкой пересечения. Возможны два типа пересечения этих прямых, изображенные на рис. (случаи а и б). Случай а соответствует положению устойчивого равновесия, так как если $l$ немного увеличится, $f_{1}$ возрастет больше, чем необходимо для устойчивого вращения, и система вернется к исходному положению. Точно так же, если $l$ уменьшится, $f_{1}$ окажется меньше, чем $f_{2}$, и радиус окружности будет возрастать, т. е. система и в этом случае вернется в положение равновесия. Из тех же соображений видно, что случай б соответствует положению неустойчивого равновесия.
Как видно из рис., случай а реализуется при выполнении следующих двух условий:
$Mg \frac{ \cos \alpha}{ \sin \alpha} - \frac{kl_{0}}{ \sin \alpha} < 0$,
или
$kl_{0} > Mg \cos \alpha$, (1)
и
$\frac{k}{ \sin \alpha} > M \omega^{2} \sin \alpha$,
или
$\omega < \frac{1}{ \sin \alpha} \sqrt{ \frac{k}{M}}$. (2)
Таким образом, муфта имеет устойчивое положение равновесия на штанге лишь при выполнении условий (1) и (2). Заметим в заключение, что в данной задаче не учитываются силы трения и, следовательно, любые возмущения равновесного режима не должны затухать. Различие между положениями устойчивого и неустойчивого равновесия проявится в следующем: при малом смешении муфты из устойчивого положения равновесия оиа будет в дальнейшем совершать малые колебания около этого положения; при малом смещении из неустойчивого положения муфта уйдет далеко и никогда не вернется в положение, близкое к равновесному.
