Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5856
2018-01-01 
На полый цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке в верхней точке наклонной плоскости так, что при соскальзывании цилиндра нить все время параллельна наклонной плоскости (рис.). Определить скорость $v_{ \alpha}$ цилиндра в конце плоскости, наклоненной к горизонту под углом $\alpha = 60^{ \circ}$, если при наклоне $\beta = 30^{ \circ}$ она равна $v_{ \beta}$. Длина наклонной плоскости в обоих случаях равна $L$.
Решение:
Потенциальная энергия $E_{п}$ цилиндра в конце пути частично израсходуется на работу $A_{тр}$ против сил трения о плоскость, а частично перейдет в кинетическую энергию поступательного движения и вращения:
$E_{п} = A_{тр} + \frac{mv_{п}^{2}}{2} + \frac{mv_{в}^{2}}{2}$, (1)
где $v_{п}$ — поступательная скорость центра цилиндра, а $v_{в}$ — линейная скорость поверхности цилиндра при вращении вокруг центра тяжести. Как и в предыдущей задаче, в данном случае
$v_{п} = v_{в} = v$, (2)
так как цилиндр скатывается без проскальзывания по нити. При этом скорость нижней точки цилиндра, касающейся плоскости, будет $2v$, и работа против сил трения
$A_{тр} = 2kNL$, (3)
где $N$ — сила нормального давления на плоскость, а $k$ — коэффициент трения. Используя (2) и (3), запишем (1) для углов наклона $\alpha$ и $\beta$:
$mgL \sin \alpha = mv_{ \alpha}^{2} + 2Lkmg \cos \alpha$,
$mgL \sin \beta = mv_{ \beta}^{2} + 2Lkmg \cos \beta$. (4)
Отсюда, исключая $k$, получим выражение для $v_{ \alpha}$:
$v_{ \alpha}^{2} = \frac{ \cos \alpha}{ \cos \beta} v_{ \beta}^{2} gL ( \sin \alpha - \cos \alpha tg \beta)$, (5)
которое после подстановки значений $\alpha$ и $\beta$ примет следующий вид:
$v_{ \alpha}^{2} = \frac{v_{ \beta}^{2} + gL}{ \sqrt{3}}$.
На полый цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке в верхней точке наклонной плоскости так, что при соскальзывании цилиндра нить все время параллельна наклонной плоскости (рис.). Определить скорость $v_{ \alpha}$ цилиндра в конце плоскости, наклоненной к горизонту под углом $\alpha = 60^{ \circ}$, если при наклоне $\beta = 30^{ \circ}$ она равна $v_{ \beta}$. Длина наклонной плоскости в обоих случаях равна $L$.
Решение:
Потенциальная энергия $E_{п}$ цилиндра в конце пути частично израсходуется на работу $A_{тр}$ против сил трения о плоскость, а частично перейдет в кинетическую энергию поступательного движения и вращения:
$E_{п} = A_{тр} + \frac{mv_{п}^{2}}{2} + \frac{mv_{в}^{2}}{2}$, (1)
где $v_{п}$ — поступательная скорость центра цилиндра, а $v_{в}$ — линейная скорость поверхности цилиндра при вращении вокруг центра тяжести. Как и в предыдущей задаче, в данном случае
$v_{п} = v_{в} = v$, (2)
так как цилиндр скатывается без проскальзывания по нити. При этом скорость нижней точки цилиндра, касающейся плоскости, будет $2v$, и работа против сил трения
$A_{тр} = 2kNL$, (3)
где $N$ — сила нормального давления на плоскость, а $k$ — коэффициент трения. Используя (2) и (3), запишем (1) для углов наклона $\alpha$ и $\beta$:
$mgL \sin \alpha = mv_{ \alpha}^{2} + 2Lkmg \cos \alpha$,
$mgL \sin \beta = mv_{ \beta}^{2} + 2Lkmg \cos \beta$. (4)
Отсюда, исключая $k$, получим выражение для $v_{ \alpha}$:
$v_{ \alpha}^{2} = \frac{ \cos \alpha}{ \cos \beta} v_{ \beta}^{2} gL ( \sin \alpha - \cos \alpha tg \beta)$, (5)
которое после подстановки значений $\alpha$ и $\beta$ примет следующий вид:
$v_{ \alpha}^{2} = \frac{v_{ \beta}^{2} + gL}{ \sqrt{3}}$.
