Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5844
2018-01-01 
Три абсолютно упругих шара одинаковых радиусов, массы которых равны $m_{1}, m_{2}$ и $m_{3}$, лежат на гладкой горизонтальной поверхности так, что их центры расположены на одной прямой. Крайнему шару $m_{1}$ сообщается скорость $v_{0}$ вдоль линии центров шаров, и он сталкивается с шаром $m_{2}$. Шар $m_{2}$ сталкивается с третьим шаром $m_{3}$. При каком соотношении масс все три шара будут иметь после этих столкновений одинаковые количества движения? Возможны ли в этом случае дальнейшие столкновения шаров?
Решение:
При соударении первого шара со вторым на основании законов сохранения количества движения и энергии имеем
$m_{1}v_{0} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}^{ \prime}$, (1)
$\frac{m_{1}v_{0}^{2}}{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{ \prime 2}}{2}$. (2)
Аналогично, при соударении второго и третьего шаров
$m_{2}v_{2}^{ \prime} = m_{2}v_{2} + m_{3}v_{3}$, (3)
$\frac{m_{2}v_{2}^{ \prime 2}}{2} = \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2} + \frac{m_{3}v_{3}^{ 2}}{2}$. (4)
По условию задачи
$m_{1}v_{1} = m_{2}v_{2} = m_{3}v_{3}$. (5)
Найдем связь $v_{1}, v_{2}$ и $v_{3}$. Из уравнений (1) и (2), (3) н (4) находим
$v_{1} = \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{m_{2}}{m_{1}} \right ) v_{2}^{ \prime}$, (6)
$v_{2}^{ \prime} = v_{2} + \frac{m_{3}}{m_{2}} v_{3}$, (7)
а уравнения (5) и (7) в свою очередь дают
$v_{2} = \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{m_{3}}{m_{2}} \right ) v_{3}$, (8)
$v_{1} = \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{m_{2}}{m_{1}} \right ) \left ( v_{2} + \frac{m_{3}}{m_{2}} v_{3} \right )$. (9)
Теперь из уравнений (5), (8) и (9) найдем $m_{1} = 2m_{2} = 6m_{3}$. Таким образом $v_{3} > v_{2} > v_{1}$ и дальнейшие столкновения шаров невозможны.
Три абсолютно упругих шара одинаковых радиусов, массы которых равны $m_{1}, m_{2}$ и $m_{3}$, лежат на гладкой горизонтальной поверхности так, что их центры расположены на одной прямой. Крайнему шару $m_{1}$ сообщается скорость $v_{0}$ вдоль линии центров шаров, и он сталкивается с шаром $m_{2}$. Шар $m_{2}$ сталкивается с третьим шаром $m_{3}$. При каком соотношении масс все три шара будут иметь после этих столкновений одинаковые количества движения? Возможны ли в этом случае дальнейшие столкновения шаров?
Решение:
При соударении первого шара со вторым на основании законов сохранения количества движения и энергии имеем
$m_{1}v_{0} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}^{ \prime}$, (1)
$\frac{m_{1}v_{0}^{2}}{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{ \prime 2}}{2}$. (2)
Аналогично, при соударении второго и третьего шаров
$m_{2}v_{2}^{ \prime} = m_{2}v_{2} + m_{3}v_{3}$, (3)
$\frac{m_{2}v_{2}^{ \prime 2}}{2} = \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2} + \frac{m_{3}v_{3}^{ 2}}{2}$. (4)
По условию задачи
$m_{1}v_{1} = m_{2}v_{2} = m_{3}v_{3}$. (5)
Найдем связь $v_{1}, v_{2}$ и $v_{3}$. Из уравнений (1) и (2), (3) н (4) находим
$v_{1} = \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{m_{2}}{m_{1}} \right ) v_{2}^{ \prime}$, (6)
$v_{2}^{ \prime} = v_{2} + \frac{m_{3}}{m_{2}} v_{3}$, (7)
а уравнения (5) и (7) в свою очередь дают
$v_{2} = \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{m_{3}}{m_{2}} \right ) v_{3}$, (8)
$v_{1} = \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{m_{2}}{m_{1}} \right ) \left ( v_{2} + \frac{m_{3}}{m_{2}} v_{3} \right )$. (9)
Теперь из уравнений (5), (8) и (9) найдем $m_{1} = 2m_{2} = 6m_{3}$. Таким образом $v_{3} > v_{2} > v_{1}$ и дальнейшие столкновения шаров невозможны.
