Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5842
2017-12-31 
Два груза с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ ($m_{1} > m_{2}$) связаны нитью, перекинутой через легкий блок радиуса $r$, ось которого горизонтальна. На одной оси с блоком укреплены по радиусам четыре тонкие спицы длиной $l$, на концах которых укреплены небольшие тяжелые шарики массы $m$ (рис.). Система приходит в ускоренное движение без начальной скорости. Найти ускорение грузов $m_{1}$ и $m_{2}$, считая, что трение в оси блока отсутствует, нить не проскальзывает по блоку и массами нити, блока и спиц можно пренебречь.
Решение:
Наиболее простое решение задачи может быть получено при помощи закона сохранения энергии. Допустим, что в начальный момент система находилась в покое. Так как $m_{1} > m_{2}$ то, предоставленная самой себе, система придет в движение, и груз $m_{1}$ начнет опускаться с некоторым ускорением $a$. Пусть груз $m_{1}$ опустился на $h$ см, груз $m_{2}$, очевидно, при этом поднимется на ту же высоту $h$. Изменение потенциальной энергии системы будет
$(m_{1} - m_{2}) gh$.
На основании закона сохранения энергии
$(m_{1} - m_{2})gh = \frac{4mv^{2}}{2} + \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2}+ \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}$, (1)
где $v, v_{1}$ и $v_{2}$ — скорости грузов $m, m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно. Нетрудно заметить, что
$v_{1}^{2} = v_{2}^{2}, v = v_{1} \frac{l}{r}$. (2)
Подставляя (2) в (1), получим
$m_{1}^{2} = \frac{2(m_{1} - m_{2})gh}{m_{1} + m_{2} + 4m \frac{l^{2}}{r^{2}}}$.
Воспользовавшись известным кинематическим равенством
$v_{1}^{2} = 2ah$,
найдем $a$:
$a = \frac{(m_{1} + m_{2})g}{m_{1} + m_{2} + 4m \frac{l^{2}}{r^{2}}}$.
Задачу можно решить и при помощи второго закона Ньютона. Для этого обратимся к рис. Груз $m_{1}$ движется с ускорением $a$ под действием силы $T_{1}$ натяжения веревки и силы тяжести, поэтому
$m_{1}a = m_{1}g - T_{1}$. (3)
Аналогично для груза $m_{2}$
$m_{2}a = T_{2} - m_{2}g$. (4)
Ясно, что силы натяжения $T_{1}$ и $T_{2}$ неодинаковы и разность этих сил приводит в движение грузы $m$. Ускорение $a_{1}$ грузов $m$ связано с $a$ очевидным соотношением:
$a_{1} = a \frac{l}{r}$. (5)
Разность сил $T_{1} - T_{2}$ создает относительно оси блока момент $(T_{1} - T_{2})r$. Этот момент должен в точности компенсироваться моментом сил $F$ давления грузов $m$ на спицы, т. е.
$(T_{1} - T_{2})r = Fl$, (6)
где
$F = 4ma_{1}$. (7)
Действительно, так как барабан н спицы невесомы, то они начали бы вращаться с бесконечно большим ускорением, если бы равенство (6) не выполнялось точно. Совместное решение (3)-(7) приводит к полученному ранее выражению для $a$.
Два груза с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ ($m_{1} > m_{2}$) связаны нитью, перекинутой через легкий блок радиуса $r$, ось которого горизонтальна. На одной оси с блоком укреплены по радиусам четыре тонкие спицы длиной $l$, на концах которых укреплены небольшие тяжелые шарики массы $m$ (рис.). Система приходит в ускоренное движение без начальной скорости. Найти ускорение грузов $m_{1}$ и $m_{2}$, считая, что трение в оси блока отсутствует, нить не проскальзывает по блоку и массами нити, блока и спиц можно пренебречь.
Решение:
Наиболее простое решение задачи может быть получено при помощи закона сохранения энергии. Допустим, что в начальный момент система находилась в покое. Так как $m_{1} > m_{2}$ то, предоставленная самой себе, система придет в движение, и груз $m_{1}$ начнет опускаться с некоторым ускорением $a$. Пусть груз $m_{1}$ опустился на $h$ см, груз $m_{2}$, очевидно, при этом поднимется на ту же высоту $h$. Изменение потенциальной энергии системы будет
$(m_{1} - m_{2}) gh$.
На основании закона сохранения энергии
$(m_{1} - m_{2})gh = \frac{4mv^{2}}{2} + \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2}+ \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}$, (1)
где $v, v_{1}$ и $v_{2}$ — скорости грузов $m, m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно. Нетрудно заметить, что
$v_{1}^{2} = v_{2}^{2}, v = v_{1} \frac{l}{r}$. (2)
Подставляя (2) в (1), получим
$m_{1}^{2} = \frac{2(m_{1} - m_{2})gh}{m_{1} + m_{2} + 4m \frac{l^{2}}{r^{2}}}$.
Воспользовавшись известным кинематическим равенством
$v_{1}^{2} = 2ah$,
найдем $a$:
$a = \frac{(m_{1} + m_{2})g}{m_{1} + m_{2} + 4m \frac{l^{2}}{r^{2}}}$.
Задачу можно решить и при помощи второго закона Ньютона. Для этого обратимся к рис. Груз $m_{1}$ движется с ускорением $a$ под действием силы $T_{1}$ натяжения веревки и силы тяжести, поэтому
$m_{1}a = m_{1}g - T_{1}$. (3)
Аналогично для груза $m_{2}$
$m_{2}a = T_{2} - m_{2}g$. (4)
Ясно, что силы натяжения $T_{1}$ и $T_{2}$ неодинаковы и разность этих сил приводит в движение грузы $m$. Ускорение $a_{1}$ грузов $m$ связано с $a$ очевидным соотношением:
$a_{1} = a \frac{l}{r}$. (5)
Разность сил $T_{1} - T_{2}$ создает относительно оси блока момент $(T_{1} - T_{2})r$. Этот момент должен в точности компенсироваться моментом сил $F$ давления грузов $m$ на спицы, т. е.
$(T_{1} - T_{2})r = Fl$, (6)
где
$F = 4ma_{1}$. (7)
Действительно, так как барабан н спицы невесомы, то они начали бы вращаться с бесконечно большим ускорением, если бы равенство (6) не выполнялось точно. Совместное решение (3)-(7) приводит к полученному ранее выражению для $a$.
