Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5841
2017-12-31 
На легкий барабан радиуса $r$ с горизонтальной осью намотана нить, на конце которой подвешен груз массой $m_{1}$. На барабане укреплены радиально четыре спицы длиной $l_{0}$ с тяжелыми шариками массы $m$ на концах (рис.). Первоначально груз висит на высоте $h_{0}$ над полом. Груз предоставляют самому себе, и система приходит в ускоренное движение. Когда груз достигает пола, нить продолжает свободно сматываться с барабана, после чего барабан начинает снова наматывать на себя нить. На какую максимальную высоту от пола поднимется груз? Массой барабана, нити и спиц, а также трением в оси блока можно пренебречь и удар груза об пол считать неупругим.
Решение:
В начальный момент энергия системы равняется потенциальной энергии груза массы $m_{1}$:
$E_{п} = m_{1}gh_{0}$. (i)
Предоставленный самому себе груз $m_{1}$ начинает опускаться с некоторым ускорением, приводя во вращение спицы с грузами $m$. Когда груз $m_{1}$ достигнет пола, его потенциальная энергия $E_{п}$ перейдет в кинетическую энергию самого груза $m_{1}$, равную $E_{K_{1}}$, и грузов $m$, расположенных на концах спиц, равную $E_{K_{2}}$:
$m_{1}gh_{0} = \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{4mv_{2}^{2}}{2}$, (2)
где $v_{1}$ — скорость груза непосредственно перед соприкосновением с полом, a $v_{2}$ — скорость грузов $m$ в тот же момент. Когда груз $m_{1}$ достигнет пола, произойдет неупругий удар, при котором кинетическая энергия груза $m_{1}$ целиком перейдет в энергию неупругой деформации. После этого механическая энергия системы становится равной кинетической энергии вращающихся грузов $m$:
$E_{K_{2}} = \frac{4mv_{2}^{2}}{2}$.
Пока груз $m_{1}$ находится на полу (нить свободно сматывается и затем свободно наматывается на барабан), механическая энергия системы не меняется. Когда вить снова натягивается и начинает поднимать груз $m_{1}$, то $E_{K_{2}}$ переходит в потенциальную энергию груза $m_{1}$. Так как $E_{K_{2}}$ меньше, чем начальный запас энергии $E_{п}$ ($E_{K_{2}} = E_{п} - E_{K_{1}}$), то груз $m_{1}$ поднимется на некоторую высоту $h_{1}$, меньшую $h_{0}$. Очевидно, чтобы найти $h_{1}$, надо знать скорость $v_{2}$ вращения грузов $m$. Угловая скорость точек обода барабана, на который намотана нить, и угловая скорость грузов на спицах одинаковы. Линейная скорость $v_{1}$ обода (и груза $m_{1}$) и линейная скорость $v_{2}$ грузов $m$ на спицах выражаются через угловую скорость $\omega$ следующим образом:
$v_{1} = \omega r, v_{2} = \omega l_{0}$.
Следовательно,
$v_{1} = v_{2} \frac{r}{l_{0}}$, (3)
Для нахождения скорости $v_{2}$ подставим (3) в (2) (4). В результате получим
$v_{2}^{2} = \frac{m_{1}gh_{0}}{ \frac{1}{2} m_{1} \frac{r^{2}}{l_{0}^{2}} + 2m}$.
Теперь находим высоту $h_{1}$ поднятия груза $m_{1}$:
$m_{1}gh_{1} = \frac{4mv_{2}^{2}}{2}$.
Воспользовавшись (4), сразу найдем
$h_{1} = \frac{4mh_{0}l_{0}^{2}}{m_{1}r^{2} + 4 ml_{0}^{2}}$. (5)
Приведенное решение поясняется рис.
Примечание. При решении предполагалось, что груз $m_{1}$, отрываясь от пола, мгновенно приобретает конечную скорость, т. е. испытывает бесконечно большое ускорение. Поэтому в момент рывка в нити возникнут бесконечные силы натяжения, которые растянут нить, продеформируют ось блока и т. д., как бы прочны эти детали ни были. Энергия, затраченная на деформацию системы, нами не учитывалась и поэтому результат (5) несколько завышен. Однако отметим, что рывок будет тем слабее (и неучтенные потери энергии — тем меньше), чем лучше при сравнимых по величине массах $m$ и $m_{1}$ выполняется неравенство
$r \leq l_{0}$.
Поскольку в задаче требуется найти максимальную высоту подъема груза $m_{1}$ то решение (5) является правильным, но оно может быть реализовано, как теперь видно, только при $r = 0$.
На легкий барабан радиуса $r$ с горизонтальной осью намотана нить, на конце которой подвешен груз массой $m_{1}$. На барабане укреплены радиально четыре спицы длиной $l_{0}$ с тяжелыми шариками массы $m$ на концах (рис.). Первоначально груз висит на высоте $h_{0}$ над полом. Груз предоставляют самому себе, и система приходит в ускоренное движение. Когда груз достигает пола, нить продолжает свободно сматываться с барабана, после чего барабан начинает снова наматывать на себя нить. На какую максимальную высоту от пола поднимется груз? Массой барабана, нити и спиц, а также трением в оси блока можно пренебречь и удар груза об пол считать неупругим.
Решение:
В начальный момент энергия системы равняется потенциальной энергии груза массы $m_{1}$:
$E_{п} = m_{1}gh_{0}$. (i)
Предоставленный самому себе груз $m_{1}$ начинает опускаться с некоторым ускорением, приводя во вращение спицы с грузами $m$. Когда груз $m_{1}$ достигнет пола, его потенциальная энергия $E_{п}$ перейдет в кинетическую энергию самого груза $m_{1}$, равную $E_{K_{1}}$, и грузов $m$, расположенных на концах спиц, равную $E_{K_{2}}$:
$m_{1}gh_{0} = \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{4mv_{2}^{2}}{2}$, (2)
где $v_{1}$ — скорость груза непосредственно перед соприкосновением с полом, a $v_{2}$ — скорость грузов $m$ в тот же момент. Когда груз $m_{1}$ достигнет пола, произойдет неупругий удар, при котором кинетическая энергия груза $m_{1}$ целиком перейдет в энергию неупругой деформации. После этого механическая энергия системы становится равной кинетической энергии вращающихся грузов $m$:
$E_{K_{2}} = \frac{4mv_{2}^{2}}{2}$.
Пока груз $m_{1}$ находится на полу (нить свободно сматывается и затем свободно наматывается на барабан), механическая энергия системы не меняется. Когда вить снова натягивается и начинает поднимать груз $m_{1}$, то $E_{K_{2}}$ переходит в потенциальную энергию груза $m_{1}$. Так как $E_{K_{2}}$ меньше, чем начальный запас энергии $E_{п}$ ($E_{K_{2}} = E_{п} - E_{K_{1}}$), то груз $m_{1}$ поднимется на некоторую высоту $h_{1}$, меньшую $h_{0}$. Очевидно, чтобы найти $h_{1}$, надо знать скорость $v_{2}$ вращения грузов $m$. Угловая скорость точек обода барабана, на который намотана нить, и угловая скорость грузов на спицах одинаковы. Линейная скорость $v_{1}$ обода (и груза $m_{1}$) и линейная скорость $v_{2}$ грузов $m$ на спицах выражаются через угловую скорость $\omega$ следующим образом:
$v_{1} = \omega r, v_{2} = \omega l_{0}$.
Следовательно,
$v_{1} = v_{2} \frac{r}{l_{0}}$, (3)
Для нахождения скорости $v_{2}$ подставим (3) в (2) (4). В результате получим
$v_{2}^{2} = \frac{m_{1}gh_{0}}{ \frac{1}{2} m_{1} \frac{r^{2}}{l_{0}^{2}} + 2m}$.
Теперь находим высоту $h_{1}$ поднятия груза $m_{1}$:
$m_{1}gh_{1} = \frac{4mv_{2}^{2}}{2}$.
Воспользовавшись (4), сразу найдем
$h_{1} = \frac{4mh_{0}l_{0}^{2}}{m_{1}r^{2} + 4 ml_{0}^{2}}$. (5)
Приведенное решение поясняется рис.
Примечание. При решении предполагалось, что груз $m_{1}$, отрываясь от пола, мгновенно приобретает конечную скорость, т. е. испытывает бесконечно большое ускорение. Поэтому в момент рывка в нити возникнут бесконечные силы натяжения, которые растянут нить, продеформируют ось блока и т. д., как бы прочны эти детали ни были. Энергия, затраченная на деформацию системы, нами не учитывалась и поэтому результат (5) несколько завышен. Однако отметим, что рывок будет тем слабее (и неучтенные потери энергии — тем меньше), чем лучше при сравнимых по величине массах $m$ и $m_{1}$ выполняется неравенство
$r \leq l_{0}$.
Поскольку в задаче требуется найти максимальную высоту подъема груза $m_{1}$ то решение (5) является правильным, но оно может быть реализовано, как теперь видно, только при $r = 0$.
