ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-12-31   
На наклонной плоскости лежит брусок. К бруску приложена сила $F$, равная удвоенному весу бруска и направленная вверх вдоль наклонной плоскости (рис.). Коэффициент $k$ трения между бруском и наклонной плоскостью равен 1. При каком угле $\alpha$ наклона ускорение $a$ бруска будет минимальным и каково это минимальное ускорение?



Решение:



Силы, действующие на брусок, изображены на рис. Так как движение возможно лишь вдоль наклонной плоскости, то $N = mg \cos \alpha$, а сила трения $F_{тр} = kN = kmg \cos \alpha$. Второй закон Ньютона дает

$ma = 2mg - mg \sin \alpha - mg \cos \alpha$,

откуда

$a = g [2 - ( \sin \alpha + \cos \alpha)]$.

Ускорение будет минимальным, если сумма $\sin \alpha + \cos \alpha$ примет максимально возможное значение. Как известно,

$\sin \alpha + \cos \alpha = 2 \sin \frac{ \pi}{4} \cos \left ( \alpha - \frac{ \pi}{4} \right )$.

Отсюда видно, что максимальное значение этой суммы будет при $\alpha = \pi /4$. Следовательно,

$a_{min} = g \left ( 2 - 2 \sin \frac{ \pi}{4} \right ) \approx 0,6g$.