Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5825
2017-12-31 
В цилиндре на расстоянии $2R/3$ от центра параллельно оси просверлено отверстие радиуса $R/4$ (рис.). Отверстие залито веществом, плотность которого в 11 раз больше плотности вещества цилиндра. Цилиндр лежит на дощечке, которую медленно поднимают за один конец. Каков максимальный угол наклона дощечки, при котором цилиндр еще может находиться на ней в равновесии? Коэффициент трения $k = 0,3$.
Решение:
При увеличении угла $\alpha$ (рис.) цилиндр может либо соскользнуть, либо скатиться. Скольжение наступит, когда составляющая веса цилиндра вдоль дощечки станет больше максимального значения силы трения. Обозначая $\alpha_{1}$ — угол, при котором начинается скольжение, $P_{1}$ — избыточный вес вещества, заполняющего отверстие, а $P$ — вес однородного цилиндра, получим
$(P + P_{1}) \sin \alpha _{1} = k(P + P_{1}) \cos \alpha_{1}$. (1)
откуда
$tg \alpha_{1} = k$. (2)
Определим теперь угол $\alpha = \alpha_{2}$, начиная с которого возникнет чистое (без проскальзывания) качение цилиндра. Для этого заметим, что поскольку скольжения нет, сила трения меньше своего максимального значения, и равна составляющей силы веса вдоль дощечки, т. е. величине $(P + P_{1}) \sin \alpha_{2}$. Очевидно, цилиндр сможет удерживаться на дощечке, пока момент силы трения относительно его оси не превысит максимально возможного значения момента силы $P_{1}$, который соответствует горизонтальному расположению линии центров отверстия и цилиндра. Таким образом, для $\alpha = \alpha_{2}$ будем иметь
$R(P + P_{1}) \sin \alpha_{2} = \frac{2}{3} RP_{1}$. (3)
Поскольку, как нетрудно видеть $P_{1} = 5P/8$, то равенство (3) дает
$\sin \alpha_{2} = \frac{10}{39}$.
При этом
$tg \alpha_{2} \approx 0,26 < tg \alpha_{1}$.
Следовательно, равенство моментов нарушится раньше и цилиндр начнет скатываться без скольжения.
Заметим, что ось, относительно которой вычисляются моменты, можно выбирать произвольно, однако в данном случае вычисления получаются наиболее простыми, если эта ось совпадает с осью цилиндра.
В цилиндре на расстоянии $2R/3$ от центра параллельно оси просверлено отверстие радиуса $R/4$ (рис.). Отверстие залито веществом, плотность которого в 11 раз больше плотности вещества цилиндра. Цилиндр лежит на дощечке, которую медленно поднимают за один конец. Каков максимальный угол наклона дощечки, при котором цилиндр еще может находиться на ней в равновесии? Коэффициент трения $k = 0,3$.
Решение:
При увеличении угла $\alpha$ (рис.) цилиндр может либо соскользнуть, либо скатиться. Скольжение наступит, когда составляющая веса цилиндра вдоль дощечки станет больше максимального значения силы трения. Обозначая $\alpha_{1}$ — угол, при котором начинается скольжение, $P_{1}$ — избыточный вес вещества, заполняющего отверстие, а $P$ — вес однородного цилиндра, получим
$(P + P_{1}) \sin \alpha _{1} = k(P + P_{1}) \cos \alpha_{1}$. (1)
откуда
$tg \alpha_{1} = k$. (2)
Определим теперь угол $\alpha = \alpha_{2}$, начиная с которого возникнет чистое (без проскальзывания) качение цилиндра. Для этого заметим, что поскольку скольжения нет, сила трения меньше своего максимального значения, и равна составляющей силы веса вдоль дощечки, т. е. величине $(P + P_{1}) \sin \alpha_{2}$. Очевидно, цилиндр сможет удерживаться на дощечке, пока момент силы трения относительно его оси не превысит максимально возможного значения момента силы $P_{1}$, который соответствует горизонтальному расположению линии центров отверстия и цилиндра. Таким образом, для $\alpha = \alpha_{2}$ будем иметь
$R(P + P_{1}) \sin \alpha_{2} = \frac{2}{3} RP_{1}$. (3)
Поскольку, как нетрудно видеть $P_{1} = 5P/8$, то равенство (3) дает
$\sin \alpha_{2} = \frac{10}{39}$.
При этом
$tg \alpha_{2} \approx 0,26 < tg \alpha_{1}$.
Следовательно, равенство моментов нарушится раньше и цилиндр начнет скатываться без скольжения.
Заметим, что ось, относительно которой вычисляются моменты, можно выбирать произвольно, однако в данном случае вычисления получаются наиболее простыми, если эта ось совпадает с осью цилиндра.
