Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5822
2017-12-31 
Если к нижнему концу вертикально висящей пружины прикрепить груз, то ее длина станет равной $L_{1}$. Если другой такой же груз прикрепить к середине пружины, то ее длина возрастет до величины $L_{2}$. Найти длину пружины в недеформированном состоянии, предполагая, что ее удлинение прямо пропорционально нагрузке. Весом пружины при расчете пренебречь.
Решение:
Пусть $P$ — груз, растягивающий пружину до длины $L_{1}$. Так как удлинение пружины пропорционально нагрузке, то
$L_{1} - L_{0} = \alpha P$, (1)
где $L_{0}$ — длина недеформированной пружины, $\alpha$ — коэффициент пропорциональности. Очевидно, что под действием той же нагрузки половина пружины растянется до длины $L_{1}/2$. Обозначив $\alpha_{1}$ аналогичный коэффициент для половины пружины, получим
$\frac{L_{1} - L_{0}}{2} = \frac{ \alpha P}{2} = \alpha_{1}P$,
откуда
$\alpha_{1} = \frac{ \alpha}{2}$. (2)
Таким образом, коэффициент $\alpha$ упругости зависит от длины пружины. Теперь можно записать выражение для $L_{2}$:
$L_{2} = \left ( \frac{L_{0}}{2} + \alpha_{1}P \right ) + \left ( \frac{L_{0}}{2} + \alpha_{1}2P \right )$. (3)
Здесь первая скобка дает длину нижней половины растянутой пружины, а вторая — верхней. Учитывая (2) и исключая из (1) и (3) величину $\alpha P$, получим
$L_{0} = 3L_{1} - 2L_{2}$.
Если к нижнему концу вертикально висящей пружины прикрепить груз, то ее длина станет равной $L_{1}$. Если другой такой же груз прикрепить к середине пружины, то ее длина возрастет до величины $L_{2}$. Найти длину пружины в недеформированном состоянии, предполагая, что ее удлинение прямо пропорционально нагрузке. Весом пружины при расчете пренебречь.
Решение:
Пусть $P$ — груз, растягивающий пружину до длины $L_{1}$. Так как удлинение пружины пропорционально нагрузке, то
$L_{1} - L_{0} = \alpha P$, (1)
где $L_{0}$ — длина недеформированной пружины, $\alpha$ — коэффициент пропорциональности. Очевидно, что под действием той же нагрузки половина пружины растянется до длины $L_{1}/2$. Обозначив $\alpha_{1}$ аналогичный коэффициент для половины пружины, получим
$\frac{L_{1} - L_{0}}{2} = \frac{ \alpha P}{2} = \alpha_{1}P$,
откуда
$\alpha_{1} = \frac{ \alpha}{2}$. (2)
Таким образом, коэффициент $\alpha$ упругости зависит от длины пружины. Теперь можно записать выражение для $L_{2}$:
$L_{2} = \left ( \frac{L_{0}}{2} + \alpha_{1}P \right ) + \left ( \frac{L_{0}}{2} + \alpha_{1}2P \right )$. (3)
Здесь первая скобка дает длину нижней половины растянутой пружины, а вторая — верхней. Учитывая (2) и исключая из (1) и (3) величину $\alpha P$, получим
$L_{0} = 3L_{1} - 2L_{2}$.
