ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-12-31   
Из трех труб, расположенных на земле, с одинаковой скоростью 'бьют струи воды под углами 60, 45 и $30^{ \circ}$ к горизонту. Найти отношение наибольших высот подъема струй воды, вытекающих из труб, и отношение дальностей падения воды на землю.


Решение:



Пусть струя воды вылетает со скоростью $v$ из трубы, направленной под углом $\alpha$ к горизонту (рис.). Тогда максимальная высота $h$, на которую поднимается вода, будет равна

$h = \frac{v^{2} \sin^{2} \alpha}{2 \alpha}$,

где $v \sin \alpha$ — вертикальная составляющая скорости $v$. Обозначая через $h_{1}, h_{2}, h_{3}$ максимальные высоты подъема, соответствующие углам $\alpha = 60, 45$ и $30^{ \circ}$, получим

$h_{1} : h_{2}: h_{3} = ( \sin 60^{ \circ })^{2} : ( \sin 45^{ \circ})^{2} : ( \sin 30^{ \circ})^{2} = 3:2:1$.

Время $t$ полета воды равно удвоенному времени подъема на высоту $h$:

$t = 2 \frac{v \sin \alpha }{g}$.

За это время вода пройдет в горизонтальном направлении путь $L$:

$L = vt \cos \alpha = \frac{v^{2}}{2g} \sin 2 \alpha$,

откуда

$L_{1} : L_{2}: L_{3} = \sin 120^{ \circ} : \sin 90^{ \circ} : \sin 60^{ \circ} = \frac{ \sqrt{3}}{2} : 1 : \frac{ \sqrt{3}}{2}$.