Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5816
2017-12-31 
Небольшой шарик движется без трения один раз по желобу ABC (рис.), а другой раз по желобу ADC. Части желоба AD и ВС вертикальны, а углы ABC и ADC закруглены. Изобразить графически для обоих случаев зависимость скорости $v$ шарика от времени $t$, если AB = BC = AD = DC = h. Скорость шарика в точке A равна нулю. По какому пути (ABC или ADC) шарик скорее попадет из точки А в точку С?
Решение:
Так как трения нет, то независимо от пути скорость шарика в точке С будет одинакова. Зависимость скорости от времени изобразится линиями, наклон которых на участках желоба АВ и DC, ВС и AD Одинаков. На рис. путь равен площади под кривыми $odc$ н $obc^{ \prime}$. Так как путь одинаков, площади эти должны быть равны, и уже поэтому ясно, что $t_{ABC} > t_{ADC}$.
Проведем расчет времени соскальзывания по обоим путям:
$t_{AD} = \sqrt{ \frac{2h}{g}}, v_{D} = \sqrt{2gh}$,
и так как
$DC= h = v_{D} t_{DC} + \frac{gt_{DC}^{2} \sin \alpha}{2}$,
то
$t_{DC} = - \frac{v_{D}}{ g \sin \alpha} + \sqrt{ \frac{v_{D}^{2}}{g^{2} \sin^{2} \alpha} + \frac{2h}{g \sin \alpha}}$.
Следовательно
$t_{DC} = t_{AD} + t_{DC} = \frac{1}{ \sin \alpha} \sqrt{ \frac{2h}{g}} ( \sqrt{1 + \sin \alpha} + \sin \alpha - 1)$.
Аналогично для $t_{ABC}$:
$t_{AB} = \sqrt{ \frac{2h}{g \sin \alpha}}, v_{B} = \sqrt{ 2gh \sin \alpha}$,
$t_{BC} = - \frac{v_{B}}{g} + \sqrt{ \frac{v_{B}^{2}}{g^{2}} + \frac{2h}{g}}$,
откуда
$t_{ABC} = \sqrt{ \frac{2h}{g}} \left ( \frac{1 - \sin \alpha}{ \sqrt{ \sin \alpha}} + \sqrt{1 + \sin \alpha} \right )$.
Теперь легко найти разность
$t_{ABC} - t_{ADC} = \sqrt{ \frac{2h}{g}} \frac{1 - \sin \alpha}{ \sin \alpha} ( \sqrt{ \sin \alpha} + 1 - \sqrt{1 + \sin \alpha }) > 0$,
поскольку $\sqrt{ \sin \alpha } +1 > \sqrt{ \sin \alpha + 1}$, и знаки перед корнями всюду, разумеется, положительны.
Небольшой шарик движется без трения один раз по желобу ABC (рис.), а другой раз по желобу ADC. Части желоба AD и ВС вертикальны, а углы ABC и ADC закруглены. Изобразить графически для обоих случаев зависимость скорости $v$ шарика от времени $t$, если AB = BC = AD = DC = h. Скорость шарика в точке A равна нулю. По какому пути (ABC или ADC) шарик скорее попадет из точки А в точку С?
Решение:
Так как трения нет, то независимо от пути скорость шарика в точке С будет одинакова. Зависимость скорости от времени изобразится линиями, наклон которых на участках желоба АВ и DC, ВС и AD Одинаков. На рис. путь равен площади под кривыми $odc$ н $obc^{ \prime}$. Так как путь одинаков, площади эти должны быть равны, и уже поэтому ясно, что $t_{ABC} > t_{ADC}$.
Проведем расчет времени соскальзывания по обоим путям:
$t_{AD} = \sqrt{ \frac{2h}{g}}, v_{D} = \sqrt{2gh}$,
и так как
$DC= h = v_{D} t_{DC} + \frac{gt_{DC}^{2} \sin \alpha}{2}$,
то
$t_{DC} = - \frac{v_{D}}{ g \sin \alpha} + \sqrt{ \frac{v_{D}^{2}}{g^{2} \sin^{2} \alpha} + \frac{2h}{g \sin \alpha}}$.
Следовательно
$t_{DC} = t_{AD} + t_{DC} = \frac{1}{ \sin \alpha} \sqrt{ \frac{2h}{g}} ( \sqrt{1 + \sin \alpha} + \sin \alpha - 1)$.
Аналогично для $t_{ABC}$:
$t_{AB} = \sqrt{ \frac{2h}{g \sin \alpha}}, v_{B} = \sqrt{ 2gh \sin \alpha}$,
$t_{BC} = - \frac{v_{B}}{g} + \sqrt{ \frac{v_{B}^{2}}{g^{2}} + \frac{2h}{g}}$,
откуда
$t_{ABC} = \sqrt{ \frac{2h}{g}} \left ( \frac{1 - \sin \alpha}{ \sqrt{ \sin \alpha}} + \sqrt{1 + \sin \alpha} \right )$.
Теперь легко найти разность
$t_{ABC} - t_{ADC} = \sqrt{ \frac{2h}{g}} \frac{1 - \sin \alpha}{ \sin \alpha} ( \sqrt{ \sin \alpha} + 1 - \sqrt{1 + \sin \alpha }) > 0$,
поскольку $\sqrt{ \sin \alpha } +1 > \sqrt{ \sin \alpha + 1}$, и знаки перед корнями всюду, разумеется, положительны.
