2017-12-23
Подвешенному на нити шарику сообщили начальную скорость в горизонтальном направлении. Когда нить отклонилась на угол $\alpha = 30^{ \circ}$ от вертикали, ускорение шарика оказалось направленным горизонтально. Найти угол $\beta$ максимального отклонения нити.
Решение:
Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения $a_{n}$ и $a_{ \tau}$ определяются формулами:
$a_{n} = \frac{v^{2}}{l}, a_{ \tau} = g \sin \alpha$,
где $v$ — скорость шарика, $L$ — длина нити. Поскольку ускорение шарика направлено горизонтально, проекции векторов $\vec{a}_{n}$ и $\vec{a}_{ \tau}$ на вертикальную ось имеют одинаковую величину $a_{n} \cos \alpha = a_{ \tau} \sin \alpha$ или $v^{2} = gl \frac{ \sin^{2} \alpha}{ \cos \alpha}$. Далее запишем закон сохранения энергии для шарика: $\frac{mv^{2}}{2} + mgl (1 - \cos \alpha) = mgl (1 - \cos \beta )$. Решая это уравнение относительно $\cos \beta$, получаем
$\cos \beta = \cos \alpha - \frac{v^{2}}{2gl} = \cos \alpha - \frac{ \sin^{2} \alpha}{2 \cos \alpha } = 0,73, \beta = 43^{ \circ}$.