ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-12-23   
Система состоит из невесомого стержня длины $l = 35 см$, положенного на неподвижную призму, а также невесомого блока с двумя грузами $m_{1}$ и $m_{2}$ груза массы $M = 2 кг$, прикрепленных к концам стержня (рис.), причем $m_{1} + m_{2} = M$. При движении грузов $m_{1}$ и $m_{2}$ равновесие стержня имеет место, если точка опоры стержня сдвинута на расстояние $\Delta l = 5 см$ левее относительно середины стержня. Определить массы грузов $m_{1}$ и $m_{2}$. Трением пренебречь.



Решение:


Запишем условие равновесия стержня:

$Mg \left ( \frac{l}{2} - \Delta \right ) = 2T \left ( \frac{l}{2} + \Delta l \right )$,

где $T$ — сила натяжения нити, на которой подвешены грузы. Эту силу можно найти, используя второй закон Ньютона для грузов, подвешенных на нити

$m_{1}a = m_{1}g - T$;
$- m_{2}a = m_{2}g - T$.

Здесь $a$ — ускорение грузов. Решая эту систему относительно силы $T$, находим

$T = \frac{2m_{1}m_{2}g}{m_{1} + m_{2}} = \frac{2m_{1}m_{2}g}{M}$.

Подставляя этот результат в условие равновесия стержня и используя равенство $m_{1} + m_{2} = M$, получаем следующее уравнение для масс $m_{1}$ и $m_{2}$:

$m_{1,2}^{2} - m_{1,2} M + \frac{M^{2}}{4} \frac{ \frac{l}{2} - \Delta l}{ \frac{l}{2} + \Delta l} = 0$.

Решение этого уравнения дает

$m_{1} = \frac{M}{2} \left [ 1 + \sqrt{ \frac{4 \Delta l}{(l + 2 \Delta l)} } \right ] = 1,67 кг$;
$m_{2} = \frac{M}{2} \left [ 1 - \sqrt{ \frac{4 \Delta l}{(l + 2 \Delta l)} } \right ] = 0,33 кг$;