Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5784
2017-12-23 
На краю горизонтального шероховатого стола лежит палочка массой $M = 0,3 кг$, выступая за край стола на $\eta = 1/3$ часть своей длины. На выступающем ее конце подвешен на невесомой нерастяжимой нити маленький шарик (рис.). Шарик отводят в положение, при котором нить направлена вдоль палочки. При каких значениях массы шарика $m$ палочка не будет отрываться от ствола в процессе колебаний шарика? Считать, что вследствие большого трения палочка не может скользить по столу.
Решение:
Рассмотрим условия, при которых палочка будет отрываться от стола. При отрыве от стола палочка начинает вращаться относительно ребра стола (точка 0 на рис. а). Условие вращения относительно точки 0:
$M_{тяж} \leq M_{нат}$, (1)
где $M_{тяж} = Mg \left ( \frac{1}{2} - \eta \right )l$ — момент силы тяжести относительно точки 0 (сила тяжести приложена в центре палочки); $M_{нат} = T \eta l$ — момент силы натяжения нити $\vec{T}$ относительно точки 0.
Для вычисления силы натяжения нити запишем закон движения колеблющегося шарика
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{T}$.
Проектируя это уравнение в произвольной точке 2 на ось $O^{ \prime}y$, направленную вдоль нити (рис. б), и замечая, что проекция ускорения шарика на эту ось, перпендикулярную скорости, есть нормальная составляющая ускорения $a_{n} = v^{2}/l$ ($v$ — скорость шарика в этой точке, $l$ — длина нити), получаем
$m v^{2}/l = - mg \cos \alpha + T$. (2)
Скорость шарика можно определить из условия сохранения энергии между положениями в точке 1 $(mgh - mgl \cos \alpha )$ и в точке 2 ($mv^{2}/2$)
$\frac{mv^{2}}{2} = mgl \cos \alpha$.
Отсюда и из (2) находим
$T = 3mg \cos \alpha$.
Таким образом, получили заранее очевидный результат: сила натяжения нити максимальна, когда шарик проходит положение равновесия (точка 3, $\alpha = 0): T_{макс} = 3mg$. Подставляя это значение в (1), можно получить условие отрыва палочки от стола
$m \geq \frac{M}{3} \left ( \frac{1}{2 \eta} - 1 \right ) = 0,05 кг$.
На краю горизонтального шероховатого стола лежит палочка массой $M = 0,3 кг$, выступая за край стола на $\eta = 1/3$ часть своей длины. На выступающем ее конце подвешен на невесомой нерастяжимой нити маленький шарик (рис.). Шарик отводят в положение, при котором нить направлена вдоль палочки. При каких значениях массы шарика $m$ палочка не будет отрываться от ствола в процессе колебаний шарика? Считать, что вследствие большого трения палочка не может скользить по столу.
Решение:
Рассмотрим условия, при которых палочка будет отрываться от стола. При отрыве от стола палочка начинает вращаться относительно ребра стола (точка 0 на рис. а). Условие вращения относительно точки 0:
$M_{тяж} \leq M_{нат}$, (1)
где $M_{тяж} = Mg \left ( \frac{1}{2} - \eta \right )l$ — момент силы тяжести относительно точки 0 (сила тяжести приложена в центре палочки); $M_{нат} = T \eta l$ — момент силы натяжения нити $\vec{T}$ относительно точки 0.
Для вычисления силы натяжения нити запишем закон движения колеблющегося шарика
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{T}$.
Проектируя это уравнение в произвольной точке 2 на ось $O^{ \prime}y$, направленную вдоль нити (рис. б), и замечая, что проекция ускорения шарика на эту ось, перпендикулярную скорости, есть нормальная составляющая ускорения $a_{n} = v^{2}/l$ ($v$ — скорость шарика в этой точке, $l$ — длина нити), получаем
$m v^{2}/l = - mg \cos \alpha + T$. (2)
Скорость шарика можно определить из условия сохранения энергии между положениями в точке 1 $(mgh - mgl \cos \alpha )$ и в точке 2 ($mv^{2}/2$)
$\frac{mv^{2}}{2} = mgl \cos \alpha$.
Отсюда и из (2) находим
$T = 3mg \cos \alpha$.
Таким образом, получили заранее очевидный результат: сила натяжения нити максимальна, когда шарик проходит положение равновесия (точка 3, $\alpha = 0): T_{макс} = 3mg$. Подставляя это значение в (1), можно получить условие отрыва палочки от стола
$m \geq \frac{M}{3} \left ( \frac{1}{2 \eta} - 1 \right ) = 0,05 кг$.
