ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-12-23   
На сколько сожмутся буферные пружины при столкновении двух железнодорожных вагонов массами $m_{1} = 20 т$ и $m_{2} = 60 т$, двигающихся навстречу друг другу со скоростями $v_{1} = 0,5 м/с$ и $v_{2} = 0,2 м/с$? При столкновении в каждом вагоне работают по две пружины жесткостью $k = 2 \cdot 10^{4} Н/м$. Определить также ускорения вагонов в момент наибольшего сжатия пружин.


Решение:


В момент наибольшего сжатия пружин вагоны движутся с одинаковой скоростью $v$, модуль которой определим из условия сохранения полного импульса системы (учитываем, что $m_{2}v_{2} > m_{1}v_{1}$):

$m_{2} v_{2} - m_{1} v_{1} = (m_{1} + m_{2}) v$;
$v = \frac{m_{2}v_{2} - m_{1}v_{1}}{m_{1} + m_{2}}$.

Часть кинетической энергии вагонов перейдет в потенциальную энергию пружин, однако полная энергия сохраняется:

$\frac{(m_{1} + m_{2})v^{2}}{2} + 4 \frac{kx^{2}}{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}$.

Здесь $x$ — деформация каждой из четырех работающих при столкновении пружин. Подставляя в это уравнение найденное значение $v$ и разрешая его относительно $x$, найдем:

$x = \frac{v_{1} + v_{2}}{2} \sqrt{ \frac{m_{1}m_{2}}{k(m_{1} + m_{2})}} =0,3 м$.

Ускорение вагонов:

$a_{1} = \frac{2kx}{m_{1}} = 0,9 м/с^{2}$;
$a_{2} = \frac{2kx}{m_{2}} = 0,3 м/с^{2}$;