Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5773
2017-12-23 
На гладкой горизонтальной плоскости лежит брусок массой $m$, шарнирно соединенный с легкой недеформированной пружинкой длиной $l_{0} = 50 см$, подвешенной над бруском на оси 0 (рис.). Жесткость пружинки $k$ подобрана равной $2mg/l_{0}$, где $g$ — ускорение свободного падения. На брусок подействовали постоянной горизонтальной силой $\vec{F}_{0}$, по модулю равной $mg$. Найти скорость бруска в момент отрыва его от плоскости.
Решение:
На рис. изображен брусок на пружинке в момент отрыва от горизонтальной поверхности и показаны силы, действующие на него в этот момент: сила $\vec{F}_{0}$, сила тяжести $m \vec{g}$ и сила упругости $\vec{F}, F = k(l - l_{0})$, где $l$ — длина растянутой пружинки, ось которой образует угол а с вертикалью (в момент отрыва брусок не давит на горизонтальную noeepxность).
Уравнение движения бруска
$m \vec{a} = \vec{F}_{0} + \vec{F} + m \vec{g}$,
записанное для момента отрыва, спроектируем на вертикальную ось $O^{ \prime}y$ (см. рис.):
$0 = F \cos \alpha - mg$
или
$k(l - l_{0}) \cos \alpha = mg$. (1)
Исключив $l$ из равенства (1) с помощью соотношения $l = l_{0}/ \cos \alpha$ (см. прямоугольный треугольник AОВ на рис.), получим равенство
$k l_{0} (1 - \cos \alpha ) = mg$,
из которого определим
$\cos \alpha = 1 - \frac{mg}{kl_{0}} = 1/2; \alpha = 60^{ \circ}$,
поскольку $k = 2 mg/l_{0}$.
Следовательно, в момент отрыва длина растянутой пружинки $l = l_{0}/ \cos \alpha = 2 l_{0}$, а путь, пройденный бруском к этому моменту
$s =l \sin \alpha = 2l_{0} ( \sqrt{3} / 2) = l_{0} \sqrt{3}$.
За время скольжения бруска по горизонтальной поверхности произведенная силой $\vec{F}_{0}$ работа есть
$A = F_{0}S = mg l_{0} \sqrt{3}$, (2)
а увеличение потенциальной энергии растянувшейся вдвое пружинки
$\Delta F_{пот} = k (2 l_{0} - l_{0})^{2}/2 = \frac{mg}{l_{0}} \left ( \frac{l_{0}^{2}}{2} \right ) = mgl_{0}/2$. (3)
За это же время кинетическая энергия бруска возрастает на
$\Delta E_{кин} = \frac{mv^{2}}{2}$, (4)
поскольку вначале брусок был неподвижен ($v$ — скорость бруска в момент отрыва).
Так как брусок скользит по гладкой поверхности, то на основании закона сохранения энергии
$A = \Delta E = \Delta E_{пот} + \Delta E_{кин}$. (5)
Подставив в соотношение (5) окончательные выражения $A, \Delta E_{пот}$ из равенств (2), (3) и $\Delta E_{кин}$ согласно выражению (4), получим
$mg l_{0} \sqrt{3} = mg l_{0} + m v^{2}/2$,
откуда найдем скорость бруска
$v = \sqrt{2gl_{0} ( \sqrt{3} - 1)} = 2,7 м/с$.
На гладкой горизонтальной плоскости лежит брусок массой $m$, шарнирно соединенный с легкой недеформированной пружинкой длиной $l_{0} = 50 см$, подвешенной над бруском на оси 0 (рис.). Жесткость пружинки $k$ подобрана равной $2mg/l_{0}$, где $g$ — ускорение свободного падения. На брусок подействовали постоянной горизонтальной силой $\vec{F}_{0}$, по модулю равной $mg$. Найти скорость бруска в момент отрыва его от плоскости.
Решение:
На рис. изображен брусок на пружинке в момент отрыва от горизонтальной поверхности и показаны силы, действующие на него в этот момент: сила $\vec{F}_{0}$, сила тяжести $m \vec{g}$ и сила упругости $\vec{F}, F = k(l - l_{0})$, где $l$ — длина растянутой пружинки, ось которой образует угол а с вертикалью (в момент отрыва брусок не давит на горизонтальную noeepxность).
Уравнение движения бруска
$m \vec{a} = \vec{F}_{0} + \vec{F} + m \vec{g}$,
записанное для момента отрыва, спроектируем на вертикальную ось $O^{ \prime}y$ (см. рис.):
$0 = F \cos \alpha - mg$
или
$k(l - l_{0}) \cos \alpha = mg$. (1)
Исключив $l$ из равенства (1) с помощью соотношения $l = l_{0}/ \cos \alpha$ (см. прямоугольный треугольник AОВ на рис.), получим равенство
$k l_{0} (1 - \cos \alpha ) = mg$,
из которого определим
$\cos \alpha = 1 - \frac{mg}{kl_{0}} = 1/2; \alpha = 60^{ \circ}$,
поскольку $k = 2 mg/l_{0}$.
Следовательно, в момент отрыва длина растянутой пружинки $l = l_{0}/ \cos \alpha = 2 l_{0}$, а путь, пройденный бруском к этому моменту
$s =l \sin \alpha = 2l_{0} ( \sqrt{3} / 2) = l_{0} \sqrt{3}$.
За время скольжения бруска по горизонтальной поверхности произведенная силой $\vec{F}_{0}$ работа есть
$A = F_{0}S = mg l_{0} \sqrt{3}$, (2)
а увеличение потенциальной энергии растянувшейся вдвое пружинки
$\Delta F_{пот} = k (2 l_{0} - l_{0})^{2}/2 = \frac{mg}{l_{0}} \left ( \frac{l_{0}^{2}}{2} \right ) = mgl_{0}/2$. (3)
За это же время кинетическая энергия бруска возрастает на
$\Delta E_{кин} = \frac{mv^{2}}{2}$, (4)
поскольку вначале брусок был неподвижен ($v$ — скорость бруска в момент отрыва).
Так как брусок скользит по гладкой поверхности, то на основании закона сохранения энергии
$A = \Delta E = \Delta E_{пот} + \Delta E_{кин}$. (5)
Подставив в соотношение (5) окончательные выражения $A, \Delta E_{пот}$ из равенств (2), (3) и $\Delta E_{кин}$ согласно выражению (4), получим
$mg l_{0} \sqrt{3} = mg l_{0} + m v^{2}/2$,
откуда найдем скорость бруска
$v = \sqrt{2gl_{0} ( \sqrt{3} - 1)} = 2,7 м/с$.
