Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5772
2017-12-23 
Брусок массой $m = 1,6 кг$, соединенный с легкой пружиной жесткостью $k = 256 Н/м$, располагают на высоте $H = 85 см$ от пола (рис.) и отпускают. Длина недеформированной пружины $l_{0} = 50 см$. Найти максимальную скорость бруска. Ось пружины во время движения системы остается вертикальной, влиянием воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения положить приближенно $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Скорость бруска увеличивается, пока он свободно падает и в течение некоторого времени после того, как пружина соприкоснется с полом. Сила упругости $\vec{F}{t}$, действующая на брусок со стороны сжимающейся пружины и направленная вверх, в продолжение этого времени по модулю возрастает, не превосходя, однако, силы тяжести: $mg > F(t)$ (рис. а). Поэтому ускорение бруска $\vec{a}(t)$, уменьшаясь по модулю, в течение этого времени направлено вертикально вниз (рис. a, $t < t_{1}$).
Приближаясь к земле, брусок продолжает сдавливать пружину, и в момент $t_{1}$, когда длина пружины становится равной $l_{1}$, (рис. б), сила упругости по модулю сравнивается с силой тяжести. При дальнейшем движении бруска вниз сила упругости начинает превосходить силу тяжести: $F(t) > mg$ (рис. в). В продолжение этого времени ускорение бруска $a(t)$ направлено вверх (рис. в, $t > t_{1}$) и по мере приближения бруска к полу увеличивается по модулю. Скорость бруска в течение этого времени уменьшается и обратится в нуль, когда пружина максимально сожмется.
Следовательно, а момент $t_{1}$ (рис. б), когда ускорение бруска обращается в нуль ($a_{1} = 0$), скорость бруска $v_{1}$ — максимальна, а сила тяжести $m \vec{g}$ компенсируется силой упругости $\vec{F}_{1}$, причем $F_{1} = k(l_{0} - l_{1})$:
$mg = k(l_{0} - l_{1})$,
откуда
$l_{1} - l_{1} = mg/k$ (1)
и
$l_{1} = l_{0} - (mg/k)$. (2)
Из условия задачи видно, что механическая энергия системы тел «брусок — пружина» в процессе их движения сохраняется. В начальный момент (см. рис.) она равна лишь потенциальной энергии $mgH$ бруска в поле тяжести, а в момент $t_{1}$ складывается из кинетической энергии бруска $mv^{2}/2$, потенциальной энергии его в поле тяжести и потенциальной энергии сжатой пружины $k(l_{0} - l_{1})^{2}/2$ (в обоих случаях потенциальная энергия бруска, находящегося на уровне пола, положена равной нулю). На основании закона сохранения энергии
$mgH = mv_{1}^{2}/2 + mg l_{1} + k ( l_{0} - l_{1})^{2}/2$. (3)
Заменив в соотношении (3) $l_{1}$ и $(l_{0} - l_{1})$ согласно их выражениям (2) и (1), получим после несложных преобразований
$mgH = mv_{1}^{2} /2 + mg l_{0} - (mg)^{2}/2k$,
откуда
$v_{1} = \sqrt{2g(H - l_{0}) + mg^{2}/k} = 2,5 м/с$.
Брусок массой $m = 1,6 кг$, соединенный с легкой пружиной жесткостью $k = 256 Н/м$, располагают на высоте $H = 85 см$ от пола (рис.) и отпускают. Длина недеформированной пружины $l_{0} = 50 см$. Найти максимальную скорость бруска. Ось пружины во время движения системы остается вертикальной, влиянием воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения положить приближенно $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Скорость бруска увеличивается, пока он свободно падает и в течение некоторого времени после того, как пружина соприкоснется с полом. Сила упругости $\vec{F}{t}$, действующая на брусок со стороны сжимающейся пружины и направленная вверх, в продолжение этого времени по модулю возрастает, не превосходя, однако, силы тяжести: $mg > F(t)$ (рис. а). Поэтому ускорение бруска $\vec{a}(t)$, уменьшаясь по модулю, в течение этого времени направлено вертикально вниз (рис. a, $t < t_{1}$).
Приближаясь к земле, брусок продолжает сдавливать пружину, и в момент $t_{1}$, когда длина пружины становится равной $l_{1}$, (рис. б), сила упругости по модулю сравнивается с силой тяжести. При дальнейшем движении бруска вниз сила упругости начинает превосходить силу тяжести: $F(t) > mg$ (рис. в). В продолжение этого времени ускорение бруска $a(t)$ направлено вверх (рис. в, $t > t_{1}$) и по мере приближения бруска к полу увеличивается по модулю. Скорость бруска в течение этого времени уменьшается и обратится в нуль, когда пружина максимально сожмется.
Следовательно, а момент $t_{1}$ (рис. б), когда ускорение бруска обращается в нуль ($a_{1} = 0$), скорость бруска $v_{1}$ — максимальна, а сила тяжести $m \vec{g}$ компенсируется силой упругости $\vec{F}_{1}$, причем $F_{1} = k(l_{0} - l_{1})$:
$mg = k(l_{0} - l_{1})$,
откуда
$l_{1} - l_{1} = mg/k$ (1)
и
$l_{1} = l_{0} - (mg/k)$. (2)
Из условия задачи видно, что механическая энергия системы тел «брусок — пружина» в процессе их движения сохраняется. В начальный момент (см. рис.) она равна лишь потенциальной энергии $mgH$ бруска в поле тяжести, а в момент $t_{1}$ складывается из кинетической энергии бруска $mv^{2}/2$, потенциальной энергии его в поле тяжести и потенциальной энергии сжатой пружины $k(l_{0} - l_{1})^{2}/2$ (в обоих случаях потенциальная энергия бруска, находящегося на уровне пола, положена равной нулю). На основании закона сохранения энергии
$mgH = mv_{1}^{2}/2 + mg l_{1} + k ( l_{0} - l_{1})^{2}/2$. (3)
Заменив в соотношении (3) $l_{1}$ и $(l_{0} - l_{1})$ согласно их выражениям (2) и (1), получим после несложных преобразований
$mgH = mv_{1}^{2} /2 + mg l_{0} - (mg)^{2}/2k$,
откуда
$v_{1} = \sqrt{2g(H - l_{0}) + mg^{2}/k} = 2,5 м/с$.
