Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 576
2014-06-01 
Определите, при каком минимальном коэффициенте трения $\mu_{min}$ однородного тонкого стержня о пол человек может медленно без проскальзывания поднять его с пола до вертикального положения, прилагая к концу стержня силу, перпендикулярную ему.
Решение:
Рассмотрим условия равновесий стержня в тот момент, когда он наклонен к горизонту под углом $\alpha$. Силы, действующие на стержень, изображены на рис.. При решении задачи удобнее всего воспользоваться равенством нулю суммы моментов сил относительно точки пересечения линий действия силы тяжести $mg$ и приложенной человеком перпендикулярно стержню силы $F$ (точка О) - при этом моменты данных сил равны нулю.
Пусть длина стержня равна $2l$, тогда плечо силы реакции опоры $N$ составляет $l \cos \alpha$, а плечо силы трения $-l / \sin \alpha + l \sin \alpha$, и условие равновесия записывается в виде
$Nl \cos \alpha = F_{тр}l \left ( \frac{1}{\sin \alpha} +\sin \alpha \right ) = F_{тр}l \frac{1+ \sin^{2} \alpha}{\sin \alpha}$;
отсюда
$F_{тр} = N \frac{\cos \alpha \sin \alpha}{1+ \sin^{2} \alpha} = N \frac{\cos \alpha \sin \alpha}{2 \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha} = N \frac{1}{2 tg \: \alpha + ctg \: \alpha}$.
С другой стороны, сила трения не может превышать значения $\mu N$ - силы трения скольжения, поэтому
$\mu \geq \frac{1}{2 tg \: \alpha + ctg \: \alpha}$.
Это неравенство должно выполняться при всех значениях угла $\alpha$. Следовательно, для нахождения минимального коэффициента трения $\mu_{min}$ необходимо найти максимум функции $(2x^{2} + 1 / x^{2})^{-1}$ где $x^{2}= tg \: \alpha$. Из тождества $2x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = \left ( \sqrt{2}x -\frac{1}{x^{2}} \right ) + 2 \sqrt{2}$ следует, что максимальное значение $1/(2 tg \: \alpha + ctg \: \alpha)$ равно $1/(2 \sqrt{2}) = \sqrt{2}/4$ и достигается при $x^{2}= tg \: \alpha = \sqrt{2}/2 $. Таким образом, искомый минимальный коэффициент трения равен
$\mu_{min}= \sqrt{2}/4$.
Определите, при каком минимальном коэффициенте трения $\mu_{min}$ однородного тонкого стержня о пол человек может медленно без проскальзывания поднять его с пола до вертикального положения, прилагая к концу стержня силу, перпендикулярную ему.
Решение:
Рассмотрим условия равновесий стержня в тот момент, когда он наклонен к горизонту под углом $\alpha$. Силы, действующие на стержень, изображены на рис.. При решении задачи удобнее всего воспользоваться равенством нулю суммы моментов сил относительно точки пересечения линий действия силы тяжести $mg$ и приложенной человеком перпендикулярно стержню силы $F$ (точка О) - при этом моменты данных сил равны нулю.
Пусть длина стержня равна $2l$, тогда плечо силы реакции опоры $N$ составляет $l \cos \alpha$, а плечо силы трения $-l / \sin \alpha + l \sin \alpha$, и условие равновесия записывается в виде
$Nl \cos \alpha = F_{тр}l \left ( \frac{1}{\sin \alpha} +\sin \alpha \right ) = F_{тр}l \frac{1+ \sin^{2} \alpha}{\sin \alpha}$;
отсюда
$F_{тр} = N \frac{\cos \alpha \sin \alpha}{1+ \sin^{2} \alpha} = N \frac{\cos \alpha \sin \alpha}{2 \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha} = N \frac{1}{2 tg \: \alpha + ctg \: \alpha}$.
С другой стороны, сила трения не может превышать значения $\mu N$ - силы трения скольжения, поэтому
$\mu \geq \frac{1}{2 tg \: \alpha + ctg \: \alpha}$.
Это неравенство должно выполняться при всех значениях угла $\alpha$. Следовательно, для нахождения минимального коэффициента трения $\mu_{min}$ необходимо найти максимум функции $(2x^{2} + 1 / x^{2})^{-1}$ где $x^{2}= tg \: \alpha$. Из тождества $2x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = \left ( \sqrt{2}x -\frac{1}{x^{2}} \right ) + 2 \sqrt{2}$ следует, что максимальное значение $1/(2 tg \: \alpha + ctg \: \alpha)$ равно $1/(2 \sqrt{2}) = \sqrt{2}/4$ и достигается при $x^{2}= tg \: \alpha = \sqrt{2}/2 $. Таким образом, искомый минимальный коэффициент трения равен
$\mu_{min}= \sqrt{2}/4$.
