ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-12-17   
Определить угловую скорость о вращения двухпланетной системы. Массы планет $M_{1}$ и $M_{2}$, расстояние между их центрами $R$. Найти также ускорения, с которыми движутся планеты.


Решение:



Планеты движутся по круговым орбитам с общим центром 0 (рис.), являющимся центром масс двухпланетной системы.
Уравнения движения планет имеют вид:

$M_{1} \omega^{2}r_{1} = \gamma M_{1}M_{2}/R^{2}$, (1)
$M_{2} \omega^{2}r_{2} = \gamma M_{1}M_{2}/R^{2}$, (2)

где $r_{1}$ и $r_{2}$ — радиусы круговых орбит планет во вращении вокруг общего центра 0.
Из уравнения (1) и (2) легко получить соотношение:

$\omega^{2} (r_{1} + r_{2}) = \gamma (M_{1} + M_{2})/R^{2}$,

из которого находим с учетом $r_{1} + r_{2} = R$ угловую скорость вращения планет

$\omega = \sqrt{ \gamma (M_{1} + M_{2}) / R^{3}}$.

Ускорение, например, первой планеты определим, пользуясь вторым законом Ньютона:

$a_{1} = \left ( \gamma \frac{M_{1}M_{2}}{R^{2}} \right ) / M_{1} = \gamma M_{2} / R^{2}$.

Аналогично для другой планеты

$a_{2} = \gamma M_{1}/R^{2}$.