Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5756
2017-12-17 
Два спутника движутся вокруг Земли по круговым орбитам, расположенным в одной плоскости, со скоростями $v_{1} = 7,8 км/с$ и $v_{2} = 7,7 км/с$. Определить интервал времени $\tau$, через который оба спутника регулярно сближаются на минимальное расстояние друг от друга. Найти это расстояние, если радиус Земли $R = 6,4 \cdot 10^{3} км$, ускорение силы тяжести у полюсов Земли $g_{0} = 9,8 м/с^{2}$.
Решение:
Из уравнения движения спутника на высоте $h$ над поверхностью Земли
$m \frac{v^{2}}{R+h} = \frac{ \gamma_{m}M}{(R + h)^{2}}$
найдем
$v^{2} = \gamma M/(R + h)$. (1)
На географических полюсах Земли сила тяжести $m^{ \prime}g_{0}$, действующая на тело массой $m^{ \prime}$ и сила тяготения $\gamma m^{ \prime}M/R^{2}$ одинаковы: $\gamma m^{ \prime} M/R^{2} = m^{ \prime} g_{0}$, поэтому
$\gamma M = g_{0} R^{2}$.
Подставив $\gamma M = g_{0}R^{2}$ в выражение (1),
$R + h = g_{0}R^{2}/v^{2}$. (2)
Расстояние $h_{мин}$ между спутниками, равное разности высот их полета, находим из соотношения (2), записанного для $h = h_{1}$ и $h = h_{2}$:
$h_{мин} = h_{2} - h_{1} = g_{0} R^{2} [(1/v_{2}^{2}) - (1 / v_{1}^{2})] = 176 км$.
В момент максимального сближения оба спутника находятся на общей вертикали к поверхности Земли. Если спутники обращаются вокруг Земли в одном направлении, то за время $\tau$ между двумя последующими сближениями спутник, движущийся с большей скоростью $v_{1}$ на меньшей высоте $h_{1}$, совершает на один оборот больше, чем спутник, движущийся с меньшей скоростью $v_{2}$ на большей высоте $h_{2}$, т. е.
$\frac{ \tau}{T_{1}} - \frac{ \tau}{T_{2}} = 1$, (3)
где $T_{1}$ и $T_{2}$ — периоды обращения спутников:
$T_{1} = 2 \pi (R + h_{1})/v_{1} = 2 \pi g_{0} R^{2} / v_{1}^{3}; T_{2} = 2 \pi g_{0} R^{2}/ v_{2}^{3}$ (4)
Из соотношений (3) и (4) находим
$\tau = 2 \pi g_{0} R^{2} / (v_{1}^{3} - v_{2}^{3}) = 40 ч$.
Если направления обращения спутников вокруг Земли противоположны, то интервал времени между их последующими сближениями
$\tau^{ \prime} = 2 \pi g_{0} R^{2} /(v_{1}^{3} + v_{2}^{3}) = 46 мин$.
Два спутника движутся вокруг Земли по круговым орбитам, расположенным в одной плоскости, со скоростями $v_{1} = 7,8 км/с$ и $v_{2} = 7,7 км/с$. Определить интервал времени $\tau$, через который оба спутника регулярно сближаются на минимальное расстояние друг от друга. Найти это расстояние, если радиус Земли $R = 6,4 \cdot 10^{3} км$, ускорение силы тяжести у полюсов Земли $g_{0} = 9,8 м/с^{2}$.
Решение:
Из уравнения движения спутника на высоте $h$ над поверхностью Земли
$m \frac{v^{2}}{R+h} = \frac{ \gamma_{m}M}{(R + h)^{2}}$
найдем
$v^{2} = \gamma M/(R + h)$. (1)
На географических полюсах Земли сила тяжести $m^{ \prime}g_{0}$, действующая на тело массой $m^{ \prime}$ и сила тяготения $\gamma m^{ \prime}M/R^{2}$ одинаковы: $\gamma m^{ \prime} M/R^{2} = m^{ \prime} g_{0}$, поэтому
$\gamma M = g_{0} R^{2}$.
Подставив $\gamma M = g_{0}R^{2}$ в выражение (1),
$R + h = g_{0}R^{2}/v^{2}$. (2)
Расстояние $h_{мин}$ между спутниками, равное разности высот их полета, находим из соотношения (2), записанного для $h = h_{1}$ и $h = h_{2}$:
$h_{мин} = h_{2} - h_{1} = g_{0} R^{2} [(1/v_{2}^{2}) - (1 / v_{1}^{2})] = 176 км$.
В момент максимального сближения оба спутника находятся на общей вертикали к поверхности Земли. Если спутники обращаются вокруг Земли в одном направлении, то за время $\tau$ между двумя последующими сближениями спутник, движущийся с большей скоростью $v_{1}$ на меньшей высоте $h_{1}$, совершает на один оборот больше, чем спутник, движущийся с меньшей скоростью $v_{2}$ на большей высоте $h_{2}$, т. е.
$\frac{ \tau}{T_{1}} - \frac{ \tau}{T_{2}} = 1$, (3)
где $T_{1}$ и $T_{2}$ — периоды обращения спутников:
$T_{1} = 2 \pi (R + h_{1})/v_{1} = 2 \pi g_{0} R^{2} / v_{1}^{3}; T_{2} = 2 \pi g_{0} R^{2}/ v_{2}^{3}$ (4)
Из соотношений (3) и (4) находим
$\tau = 2 \pi g_{0} R^{2} / (v_{1}^{3} - v_{2}^{3}) = 40 ч$.
Если направления обращения спутников вокруг Земли противоположны, то интервал времени между их последующими сближениями
$\tau^{ \prime} = 2 \pi g_{0} R^{2} /(v_{1}^{3} + v_{2}^{3}) = 46 мин$.
