Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5753
2017-12-17 
Жесткая легкая штанга длиной $l = 0,5 м$ с прикрепленным к ее концу небольшим грузом массой $m = 1 кг$ приводится в 'равномерное вращение со скоростью $n = 20 об/мин$ в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через другой конец штанги. Найти наибольшую $T_{1}$ и наименьшую $T_{2}$ силы, с которыми натянута штанга, а также силу $F$, с которой груз действует на вращающуюся штангу, когда она проходит через горизонтальное положение.
Решение:
На рис. а, б указаны силы, действующие на груз, когда он проходит нижнее и верхнее положения, а также его ускорения $\vec{a}_{1}$ и $\vec{a}_{2}$.
Из уравнений движения груза в нижней точке траектории
$m \vec{a}_{1} = m \vec{g} + \vec{T}_{1}$
находим наибольшую силу, с которой натянута штанга
$\vec{T}_{1} = m \vec{a}_{1} - m \vec{g}$.
Спроектировав $T_{1}$, на вертикальное направление (положительное снизу вверх), получим
$T_{1} = ma_{1} + mg = m \omega^{2} l + mg = 4 \pi^{2} n^{2} lm + mg = 12 H$.
Спроектировав аналогичное выражение для силы
$\vec{T}_{2} = m \vec{a}_{2} - m \vec{g}$,
действующей на груз при прохождении им верхнего положения, на направление ускорения $\vec{a}_{2}$, находим
$T_{2} a_{2} = ma_{2} - mg = 4 \pi^{2} n^{2} ml - mg = - 7,7 Н$.
Отрицательный знак проекции означает, что сила $\vec{T}_{2}$ действует на груз вертикально вверх, т. е. штанга сжата.
На рис. б указаны силы $\vec{N}^{ \prime}$ и $\vec{T}$, действующие на груз, когда вращающаяся штанга горизонтальна. Так как штанга вращается равномерно, то $N^{ \prime} = mg$, и сила $\vec{T}^{ \prime}$ обеспечивает центростремительное ускорение $\vec{a}^{ \prime}$ груза ($d^{ \prime} = 4 \pi^{2} n^{2} l$), поэтому
$T^{ \prime} = ma^{ \prime} = 4 \pi^{2} n^{2} ml$.
Равнодействующая сила $\vec{N}^{ \prime}$ и $\vec{T}^{ \prime}$, равна $\vec{F}^{ \prime}$. По третьему закону Ньютона груз действует на штангу с силой $\vec{F} = - \vec{F}^{ \prime}$ (рис. г). Следовательно,
$F = F^{ \prime} = \sqrt{N^{ \prime 2} + T^{ \prime 2}} = \sqrt{ (mg)^{2} + (4 \pi^{2} n^{2} ml)^{2}}$.
Жесткая легкая штанга длиной $l = 0,5 м$ с прикрепленным к ее концу небольшим грузом массой $m = 1 кг$ приводится в 'равномерное вращение со скоростью $n = 20 об/мин$ в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через другой конец штанги. Найти наибольшую $T_{1}$ и наименьшую $T_{2}$ силы, с которыми натянута штанга, а также силу $F$, с которой груз действует на вращающуюся штангу, когда она проходит через горизонтальное положение.
Решение:
На рис. а, б указаны силы, действующие на груз, когда он проходит нижнее и верхнее положения, а также его ускорения $\vec{a}_{1}$ и $\vec{a}_{2}$.
Из уравнений движения груза в нижней точке траектории
$m \vec{a}_{1} = m \vec{g} + \vec{T}_{1}$
находим наибольшую силу, с которой натянута штанга
$\vec{T}_{1} = m \vec{a}_{1} - m \vec{g}$.
Спроектировав $T_{1}$, на вертикальное направление (положительное снизу вверх), получим
$T_{1} = ma_{1} + mg = m \omega^{2} l + mg = 4 \pi^{2} n^{2} lm + mg = 12 H$.
Спроектировав аналогичное выражение для силы
$\vec{T}_{2} = m \vec{a}_{2} - m \vec{g}$,
действующей на груз при прохождении им верхнего положения, на направление ускорения $\vec{a}_{2}$, находим
$T_{2} a_{2} = ma_{2} - mg = 4 \pi^{2} n^{2} ml - mg = - 7,7 Н$.
Отрицательный знак проекции означает, что сила $\vec{T}_{2}$ действует на груз вертикально вверх, т. е. штанга сжата.
На рис. б указаны силы $\vec{N}^{ \prime}$ и $\vec{T}$, действующие на груз, когда вращающаяся штанга горизонтальна. Так как штанга вращается равномерно, то $N^{ \prime} = mg$, и сила $\vec{T}^{ \prime}$ обеспечивает центростремительное ускорение $\vec{a}^{ \prime}$ груза ($d^{ \prime} = 4 \pi^{2} n^{2} l$), поэтому
$T^{ \prime} = ma^{ \prime} = 4 \pi^{2} n^{2} ml$.
Равнодействующая сила $\vec{N}^{ \prime}$ и $\vec{T}^{ \prime}$, равна $\vec{F}^{ \prime}$. По третьему закону Ньютона груз действует на штангу с силой $\vec{F} = - \vec{F}^{ \prime}$ (рис. г). Следовательно,
$F = F^{ \prime} = \sqrt{N^{ \prime 2} + T^{ \prime 2}} = \sqrt{ (mg)^{2} + (4 \pi^{2} n^{2} ml)^{2}}$.
