Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5752
2017-12-17 
Полая сфера радиуса $R = 0,4 м$ вращается вокруг ее вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью $\omega = 5 рад/с$. Вместе со сферой на ее внутренней поверхности движется небольшая шайба, находящаяся на высоте, равной половине радиуса (рис.). Определить минимальное значение коэффициента трения, при котором это возможно.
Решение:
Запишем закон движения шайбы (рис. а).
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$, (1)
где $\vec{a}$ - ускорение шайбы, движущейся вместе со сферой
$a = v^{2}/r = \omega^{2} r = \frac{ \sqrt{3}}{2} \omega^{2} R$, (2)
($r = \frac{ \sqrt{3}}{2}R$ - радиус окружности, по которой движется шайба); $N$ - сила нормальной реакции на шайбу со стороны сферы (сила $N$ направлена вдоль радиуса сферы); $F_{тр}$ — сила трения шайбы о сферу. Заметим, что если шайба не проскальзывает относительно сферы, то $F_{тр}$ есть сила трения покоя. В противном случае имеем силу трения скольжения, т.е.
$F_{тр} = kN$. (3)
Согласно условию задачи, необходимо как раз найти такое значение коэффициента трения $k$, чтобы одновременно выполнялись условия (1) — (3). Проектируя уравнение (1) на оси Ох, Оу (см. рис. а), получим систему уравнений:
$\begin{cases} x: - ma \cos \alpha = - mg \sin \alpha + F_{тр}, \\ y: ma \sin \alpha = - mg \cos \alpha + N. \end{cases}$ (4)
где $tg \alpha = \sqrt{3}$ (см. рис. а). Отсюда имеем
$F_{тр} = m(g \sin \alpha - a \cos \alpha); N = m(g \cos \alpha + a \sin \alpha)$;
$k = \frac{F_{тр}}{N} = \sqrt{3} \frac{2g - \omega^{2}R}{3g + 3 \omega^{2} R} = 0,35$.
Полая сфера радиуса $R = 0,4 м$ вращается вокруг ее вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью $\omega = 5 рад/с$. Вместе со сферой на ее внутренней поверхности движется небольшая шайба, находящаяся на высоте, равной половине радиуса (рис.). Определить минимальное значение коэффициента трения, при котором это возможно.
Решение:
Запишем закон движения шайбы (рис. а).
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$, (1)
где $\vec{a}$ - ускорение шайбы, движущейся вместе со сферой
$a = v^{2}/r = \omega^{2} r = \frac{ \sqrt{3}}{2} \omega^{2} R$, (2)
($r = \frac{ \sqrt{3}}{2}R$ - радиус окружности, по которой движется шайба); $N$ - сила нормальной реакции на шайбу со стороны сферы (сила $N$ направлена вдоль радиуса сферы); $F_{тр}$ — сила трения шайбы о сферу. Заметим, что если шайба не проскальзывает относительно сферы, то $F_{тр}$ есть сила трения покоя. В противном случае имеем силу трения скольжения, т.е.
$F_{тр} = kN$. (3)
Согласно условию задачи, необходимо как раз найти такое значение коэффициента трения $k$, чтобы одновременно выполнялись условия (1) — (3). Проектируя уравнение (1) на оси Ох, Оу (см. рис. а), получим систему уравнений:
$\begin{cases} x: - ma \cos \alpha = - mg \sin \alpha + F_{тр}, \\ y: ma \sin \alpha = - mg \cos \alpha + N. \end{cases}$ (4)
где $tg \alpha = \sqrt{3}$ (см. рис. а). Отсюда имеем
$F_{тр} = m(g \sin \alpha - a \cos \alpha); N = m(g \cos \alpha + a \sin \alpha)$;
$k = \frac{F_{тр}}{N} = \sqrt{3} \frac{2g - \omega^{2}R}{3g + 3 \omega^{2} R} = 0,35$.
