Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5736
2017-12-15 
На два шкива с радиусами $R$ и $3R$, лежащие в одной плоскости, надели стягивающее их резиновое кольцо. Известно, что нерастянутое кольцо плотно (но без усилия) надевается на большой шкив. Найти силы, с которыми шкивы действуют друг на друга. Коэффициент жесткости резины, из которой сделано кольцо, равен $k$. Считать, что закон Гука работает для любых удлинений резины кольца.
Решение:
Пусть сила натяжения кольца равна $T$. Тогда условие равновесия каждого шкива дает
$2T \cos \alpha = N$,
где $N$ - сила реакции, действующая на один шкив со стороны другого; $\alpha$ - угол между участком кольца между шкивами и отрезком, соединяющем центры шкивов. Геометрически очевидно (см. рисунок), что
$\sin \alpha = \frac{3R - R}{3R + R} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{ \circ}$.
Отсюда находим длину растянутого кольца, которая равна удвоенной длине участка кольца между шкивами, длине участка кольца, охватывающего большой шкив и опирающегося на угол $240^{ \circ}$ и длине участка кольца, охватывающего малый шкив и опирающегося на угол $120^{ \circ}$. Таким образом, длина растянутого кольца есть
$L = 3R \frac{2}{3} 2 \pi + R \frac{1}{3} 2 \pi + 4R \sqrt{3} = 2R \left ( \frac{7 \pi}{3} + 2 \sqrt{3} \right )$.
Это значит, что кольцо удлинилось на величину
$\Delta L = L - 6 \pi R = 4R \left ( \sqrt{3} - \frac{ \pi}{3} \right )$
и, следовательно, сила натяжения кольца есть
$T = k \Delta L = 4kR \left ( \sqrt{3} - \frac{ \pi}{3} \right )$.
Отсюда находим
$N = 2T \cos 30^{ \circ} = \sqrt{3} T = 4kR \left ( 3 - \frac{ \sqrt{3} \pi}{3} \right )$.
На два шкива с радиусами $R$ и $3R$, лежащие в одной плоскости, надели стягивающее их резиновое кольцо. Известно, что нерастянутое кольцо плотно (но без усилия) надевается на большой шкив. Найти силы, с которыми шкивы действуют друг на друга. Коэффициент жесткости резины, из которой сделано кольцо, равен $k$. Считать, что закон Гука работает для любых удлинений резины кольца.
Решение:
Пусть сила натяжения кольца равна $T$. Тогда условие равновесия каждого шкива дает
$2T \cos \alpha = N$,
где $N$ - сила реакции, действующая на один шкив со стороны другого; $\alpha$ - угол между участком кольца между шкивами и отрезком, соединяющем центры шкивов. Геометрически очевидно (см. рисунок), что
$\sin \alpha = \frac{3R - R}{3R + R} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{ \circ}$.
Отсюда находим длину растянутого кольца, которая равна удвоенной длине участка кольца между шкивами, длине участка кольца, охватывающего большой шкив и опирающегося на угол $240^{ \circ}$ и длине участка кольца, охватывающего малый шкив и опирающегося на угол $120^{ \circ}$. Таким образом, длина растянутого кольца есть
$L = 3R \frac{2}{3} 2 \pi + R \frac{1}{3} 2 \pi + 4R \sqrt{3} = 2R \left ( \frac{7 \pi}{3} + 2 \sqrt{3} \right )$.
Это значит, что кольцо удлинилось на величину
$\Delta L = L - 6 \pi R = 4R \left ( \sqrt{3} - \frac{ \pi}{3} \right )$
и, следовательно, сила натяжения кольца есть
$T = k \Delta L = 4kR \left ( \sqrt{3} - \frac{ \pi}{3} \right )$.
Отсюда находим
$N = 2T \cos 30^{ \circ} = \sqrt{3} T = 4kR \left ( 3 - \frac{ \sqrt{3} \pi}{3} \right )$.
